Sabendo que a possui uma solução constante, encontre sua solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). O enunciado nos diz que a EDO tem uma solução constante e pede para encontrarmos a solução geral. Para isso, vamos precisar entender como resolver EDOs de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar que uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes pode ser resolvida encontrando as raízes da equação característica. A forma geral dessa equação é , e a equação característica associada é .

Passo 3

No nosso caso, a EDO é . Aqui, , e . Então, a equação característica fica:

Passo 4

Vamos resolver a equação característica :
Isso nos dá duas raízes:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da EDO é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz. Para , a solução é uma constante . Para , a solução é . Portanto, a solução geral é:

Resposta

A solução geral da EDO é:

Exercícios relacionados

Considere a EDO . Determine a constante tal que seja solução da EDO dada.
Em cada caso, verique que a função dada é solução da EDO e encontre sua solução geral.
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
Considere a EDO . Determine a solução geral desta EDO.