Sabendo que a
possui uma solução constante, encontre sua solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). O enunciado nos diz que a EDO
tem uma solução constante e pede para encontrarmos a solução geral. Para isso, vamos precisar entender como resolver EDOs de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar que uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes pode ser resolvida encontrando as raízes da equação característica. A forma geral dessa equação é
, e a equação característica associada é
.
Passo 3
No nosso caso, a EDO é
. Aqui,
,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica
:
Isso nos dá duas raízes:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da EDO é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz. Para
, a solução é uma constante
. Para
, a solução é
. Portanto, a solução geral é:
Resposta
A solução geral da EDO
é:
Exercícios relacionados
Considere a EDO
. Determine a constante
tal que
seja solução da EDO dada.
Em cada caso, verique que a função
dada é solução da EDO e encontre sua solução geral.
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
Considere a EDO
. Determine a solução geral desta EDO.