Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Precisaremos encontrar os valores característicos que nos ajudarão a determinar a solução geral dessa EDO.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a EDO é linear e homogênea com coeficientes constantes. Isso significa que podemos resolver assumindo uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Ao substituir
na EDO, obtemos a equação característica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de
. Calculamos o discriminante (
):
Passo 5
Como o discriminante é negativo (
), sabemos que as raízes são complexas. Então, calculamos:
Passo 6
Com as raízes complexas
, onde
e
, a solução geral da EDO é dada por:
Resposta
Portanto, a solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Sabendo que a
possui uma solução constante, encontre sua solução geral.
Considere a EDO
. Determine a constante
tal que
seja solução da EDO dada.
Considere a EDO
. Determine a solução geral desta EDO.
Encontre a solução geral das seguintes EDOs: