Considere a EDO . Determine a solução geral desta EDO.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do segundo grau: , onde . A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar soluções de EDOs lineares com coeficientes variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais padrão. Vamos dividir todos os termos por para facilitar:
Agora, temos uma EDO linear de segunda ordem na forma padrão , onde:

Passo 3

Vamos tentar encontrar soluções assumindo que a solução é uma potência de , ou seja, . Isso significa que:
Substituindo essas expressões na equação original:
Simplificando:
Fatorando:
Para que essa equação seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 4

Vamos igualar os coeficientes a zero:
  1. Para :
  1. Para e , os termos correspondentes já satisfazem a equação quando ou .

Passo 5

Assim, encontramos duas soluções particulares:
Como a equação é linear e homogênea, a solução geral é uma combinação linear dessas soluções.

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde e são constantes arbitrárias.

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(a)