Considere a EDO
. Determine a solução geral desta EDO.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do segundo grau:
, onde
. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar soluções de EDOs lineares com coeficientes variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais padrão. Vamos dividir todos os termos por
para facilitar:
Agora, temos uma EDO linear de segunda ordem na forma padrão
, onde:
Passo 3
Vamos tentar encontrar soluções assumindo que a solução
é uma potência de
, ou seja,
. Isso significa que:
Substituindo essas expressões na equação original:
Simplificando:
Fatorando:
Para que essa equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Passo 4
Vamos igualar os coeficientes a zero:
- Para
:
- Para
e , os termos correspondentes já satisfazem a equação quando ou .
Passo 5
Assim, encontramos duas soluções particulares:
Como a equação é linear e homogênea, a solução geral é uma combinação linear dessas soluções.
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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Sabendo que a
possui uma solução constante, encontre sua solução geral.
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(a)
(a)