Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(a) y'' + y = e^(-x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) . Estamos lidando com uma EDO de segunda ordem com termos homogêneos e não homogêneos. Para resolver, vamos precisar entender como resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação pode ser encontrada resolvendo a equação característica.

Passo 3

Formamos a equação característica substituindo na EDO homogênea:
Resolvendo para , temos:
Isso significa que as raízes são complexas.

Passo 4

Com raízes complexas , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Como o lado direito é uma função exponencial, vamos tentar uma solução particular da forma:
onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Substituindo e suas derivadas na EDO:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Portanto, a solução particular é:

Passo 8

Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde e são constantes arbitrárias.

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