Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO)
. Estamos lidando com uma EDO de segunda ordem com termos homogêneos e não homogêneos. Para resolver, vamos precisar entender como resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação pode ser encontrada resolvendo a equação característica.
Passo 3
Formamos a equação característica substituindo
na EDO homogênea:
Resolvendo para
, temos:
Isso significa que as raízes são complexas.
Passo 4
Com raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Como o lado direito é uma função exponencial, vamos tentar uma solução particular da forma:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo
e suas derivadas na EDO:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Portanto, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da EDO
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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Considere a EDO
. Determine a solução geral desta EDO.
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(g)
(g)
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(j)
(j)