Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
Passo 1
Beleza, então a gente tem que encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO)
. Esse tipo de problema está na matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente em EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica e encontrar suas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Como é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, a gente assume uma solução da forma
, onde
é uma constante que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Substituindo
na equação, calculamos as derivadas:
Então, substituindo na EDO:
Passo 4
Como
nunca é zero, podemos dividir toda a equação por
:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 6
Como as raízes
e
são reais e distintas, a solução geral da EDO é:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Considere a EDO
. Determine a solução geral desta EDO.
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(a)
(a)
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(g)
(g)