Encontre a solução geral das seguintes EDOs:

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) . Esse tipo de problema está na matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente em EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica e encontrar suas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Como é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, a gente assume uma solução da forma , onde é uma constante que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Substituindo na equação, calculamos as derivadas:
Então, substituindo na EDO:

Passo 4

Como nunca é zero, podemos dividir toda a equação por :
Essa é a nossa equação característica.

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 6

Como as raízes e são reais e distintas, a solução geral da EDO é:
onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da EDO é:

Exercícios relacionados

Considere a EDO . Determine a solução geral desta EDO.
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(a)
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(g)