Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente recebeu. O enunciado pede para resolver a equação por separação de variáveis. Isso faz parte do assunto de equações diferenciais ordinárias, onde a gente tenta isolar as variáveis e para conseguir integrar cada lado separadamente. Vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis e depois integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de forma que possamos separar as variáveis e . A equação dada é:
Vamos reorganizar essa equação para obter :
Passo 3
Agora, queremos separar as variáveis e . Vamos mover todos os termos envolvendo para um lado e os que envolvem para o outro:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Primeiro, vamos simplificar as frações:
Então, a equação fica:
Passo 5
Vamos agora integrar cada termo:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Passo 6
Juntando tudo, temos:
Podemos reorganizar para deixar a equação mais limpa: