Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
(x^2 + a^2)(y^2 + b^2) dx + (x^2 - a^2)(y^2 - b^2) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente recebeu. O enunciado pede para resolver a equação por separação de variáveis. Isso faz parte do assunto de equações diferenciais ordinárias, onde a gente tenta isolar as variáveis e para conseguir integrar cada lado separadamente. Vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis e depois integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de forma que possamos separar as variáveis e . A equação dada é:
Vamos reorganizar essa equação para obter :

Passo 3

Agora, queremos separar as variáveis e . Vamos mover todos os termos envolvendo para um lado e os que envolvem para o outro:

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Primeiro, vamos simplificar as frações:
Então, a equação fica:

Passo 5

Vamos agora integrar cada termo:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:

Passo 6

Juntando tudo, temos:
Podemos reorganizar para deixar a equação mais limpa:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Considere a seguinte EDO:
e^(x^3) + sen(y) + x/3 cos(y) y' = 0
a) Verifique que a EDO acima não é exata e que ao multiplicá-la por x^2, obtemos uma nova EDO, que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz y(0) = 0.
Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
a(x dy/dx + 2y) = xy dy/dx
Um tanque contém 100 litros de uma solução a uma concentração de 1 grama por litro. Uma solução com concentração de 2 t e^(-t / 100) gramas por litro entra no tanque a uma taxa de 1 litro por minuto, enquanto que a solução bem misturada sai à mesma taxa.
a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t é contado a partir do início do processo.
b) Calcule a concentração de sal no tanque t = 10 minutos após o início do processo.
Considere a EDO(x+3) y'' + (x+2) y' - y = 0.
a) Encontre uma solução da EDO acima da forma y1(x) = e^(r x).
b) Encontre uma solução da EDO que seja uma função de primeiro grau.
c) Encontre a solução geral da EDO.
d) Encontre a solução do PVI
(x+3) y'' + (x+2) y' - y = 0, y(1) = 1, y'(1) = 3