Um tanque contém 100 litros de uma solução a uma concentração de 1 grama por litro. Uma solução com concentração de 2 t e^(-t / 100) gramas por litro entra no tanque a uma taxa de 1 litro por minuto, enquanto que a solução bem misturada sai à mesma taxa.
a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t é contado a partir do início do processo.
b) Calcule a concentração de sal no tanque t = 10 minutos após o início do processo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um tanque com 100 litros de uma solução que tem 1 grama de sal por litro. Uma nova solução com concentração gramas por litro está entrando no tanque a uma taxa de 1 litro por minuto, e ao mesmo tempo, a solução bem misturada está saindo na mesma taxa. Nosso objetivo é descobrir:
a) A quantidade de sal no tanque em cada instante .
b) A concentração de sal no tanque aos 10 minutos.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de equações diferenciais que modelam o fluxo de sal entrando e saindo do tanque.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que está entrando e saindo do tanque. A concentração de sal entrando é g/L, e a taxa de entrada é 1 L/min. Então, a taxa de entrada de sal é:

Passo 3

A solução que está saindo do tanque é bem misturada, então a concentração de sal saindo é a mesma da concentração no tanque. Se chamarmos a quantidade de sal no tanque em qualquer instante de (em gramas), então a concentração é g/L. A taxa de saída de sal é:
í

Passo 4

Agora, vamos montar a equação que descreve a taxa de variação da quantidade de sal no tanque:
í
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar .

Passo 5

Para resolver essa equação diferencial, vamos primeiro reorganizá-la:
Aqui, identificamos que é uma equação linear do tipo , onde e .

Passo 6

Vamos encontrar um fator integrante para resolver essa equação. O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação diferencial pelo fator integrante:

Passo 7

O lado esquerdo da equação agora é a derivada de :
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 8

Resolvendo para :
Agora, precisamos determinar usando a condição inicial. Inicialmente, o tanque tem 100 litros com 1 g/L, então g.

Passo 9

Aplicando na equação:
Portanto, a solução para é:

Passo 10

Agora, vamos para a parte b) do exercício. Queremos a concentração de sal no tanque aos 10 minutos. A concentração é dada por:
Substituindo :
Calculando :
Então, a concentração é:

Resposta

a) A quantidade de sal no tanque em cada instante é dada por:
b) A concentração de sal no tanque aos 10 minutos é aproximadamente g/L.

Exercícios relacionados

Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
(x^2 + a^2)(y^2 + b^2) dx + (x^2 - a^2)(y^2 - b^2) dy = 0
Considere a seguinte EDO:
e^(x^3) + sen(y) + x/3 cos(y) y' = 0
a) Verifique que a EDO acima não é exata e que ao multiplicá-la por x^2, obtemos uma nova EDO, que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz y(0) = 0.
Considere a EDO(x+3) y'' + (x+2) y' - y = 0.
a) Encontre uma solução da EDO acima da forma y1(x) = e^(r x).
b) Encontre uma solução da EDO que seja uma função de primeiro grau.
c) Encontre a solução geral da EDO.
d) Encontre a solução do PVI
(x+3) y'' + (x+2) y' - y = 0, y(1) = 1, y'(1) = 3
Questão 3 - Calcule os seguintes limites, se existirem:
q) lim x 3 1|x-3|=