Um tanque contém 100 litros de uma solução a uma concentração de 1 grama por litro. Uma solução com concentração de
gramas por litro entra no tanque a uma taxa de 1 litro por minuto, enquanto que a solução bem misturada sai à mesma taxa.
a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
, onde
é contado a partir do início do processo.
b) Calcule a concentração de sal no tanque
minutos após o início do processo.
a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
b) Calcule a concentração de sal no tanque
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um tanque com 100 litros de uma solução que tem 1 grama de sal por litro. Uma nova solução com concentração
gramas por litro está entrando no tanque a uma taxa de 1 litro por minuto, e ao mesmo tempo, a solução bem misturada está saindo na mesma taxa. Nosso objetivo é descobrir:
a) A quantidade de sal no tanque em cada instante .
b) A concentração de sal no tanque aos 10 minutos.
a) A quantidade de sal no tanque em cada instante
b) A concentração de sal no tanque aos 10 minutos.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de equações diferenciais que modelam o fluxo de sal entrando e saindo do tanque.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que está entrando e saindo do tanque. A concentração de sal entrando é
g/L, e a taxa de entrada é 1 L/min. Então, a taxa de entrada de sal é:
Passo 3
A solução que está saindo do tanque é bem misturada, então a concentração de sal saindo é a mesma da concentração no tanque. Se chamarmos a quantidade de sal no tanque em qualquer instante
de
(em gramas), então a concentração é
g/L. A taxa de saída de sal é:
Passo 4
Agora, vamos montar a equação que descreve a taxa de variação da quantidade de sal no tanque:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar
.
Passo 5
Para resolver essa equação diferencial, vamos primeiro reorganizá-la:
Aqui, identificamos que é uma equação linear do tipo
, onde
e
.
Passo 6
Vamos encontrar um fator integrante para resolver essa equação. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Passo 7
O lado esquerdo da equação agora é a derivada de
:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Resolvendo para
:
Agora, precisamos determinar
usando a condição inicial. Inicialmente, o tanque tem 100 litros com 1 g/L, então
g.
Passo 9
Aplicando
na equação:
Portanto, a solução para
é:
Passo 10
Agora, vamos para a parte b) do exercício. Queremos a concentração de sal no tanque aos 10 minutos. A concentração
é dada por:
Substituindo
:
Calculando
:
Então, a concentração é:
Resposta
a) A quantidade de sal no tanque em cada instante
é dada por:
b) A concentração de sal no tanque aos 10 minutos é aproximadamente
g/L.
Exercícios relacionados
Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
Considere a seguinte EDO:
a) Verifique que a EDO acima não é exata e que ao multiplicá-la por
, obtemos uma nova EDO, que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz .
b) Encontre a solução geral da EDO exata obtida no item anterior.
c) Encontre a solução do item anterior que satisfaz
Considere a
.
a) Encontre uma solução da EDO acima da forma .
b) Encontre uma solução da EDO que seja uma função de primeiro grau.
c) Encontre a solução geral da EDO.
d) Encontre a solução do PVI
a) Encontre uma solução da EDO acima da forma
b) Encontre uma solução da EDO que seja uma função de primeiro grau.
c) Encontre a solução geral da EDO.
d) Encontre a solução do PVI
Questão 3 - Calcule os seguintes limites, se existirem:
q)
q)