Considere a EDO y''' + y'' + y' + y = G(x). Obtenha a sua solução geral quando G(x)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é do tipo . Isso significa que a gente quer encontrar uma função y(x) que, quando a gente tira a primeira, segunda e terceira derivadas dela e combina tudo isso como na equação, dá zero. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. No nosso caso, como , a equação é homogênea. Vamos precisar montar a equação característica e encontrar suas raízes para determinar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, a gente transforma a EDO em uma equação algébrica chamada equação característica. Para isso, substituímos cada derivada de y por potências de r. Ou seja:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de r que satisfazem a equação. Vamos tentar fatorar. Podemos tentar valores inteiros para r, como :
Então, é uma raiz. Isso significa que é um fator da equação cúbica.

Passo 4

Vamos dividir a equação característica por para encontrar os outros fatores. Fazendo a divisão, temos:
Então, a equação se torna:

Passo 5

Agora, resolvemos cada fator igualado a zero:
Então, as raízes são , , e .

Passo 6

Com as raízes encontradas, a solução geral da EDO é formada pela combinação das soluções correspondentes a cada raiz:
  • Para , a solução é e^-x.
  • Para e , que são raízes complexas, a solução é .

Resposta

A solução geral da EDO é:

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