Considere a EDO
. Obtenha a sua solução geral quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é do tipo
. Isso significa que a gente quer encontrar uma função
que, quando a gente tira a primeira, segunda e terceira derivadas dela e combina tudo isso como na equação, dá zero. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. No nosso caso, como
, a equação é homogênea. Vamos precisar montar a equação característica e encontrar suas raízes para determinar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, a gente transforma a EDO em uma equação algébrica chamada equação característica. Para isso, substituímos cada derivada de
por potências de
. Ou seja:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação cúbica
para encontrar os valores de
que satisfazem a equação. Vamos tentar fatorar. Podemos tentar valores inteiros para
, como
:
Então,
é uma raiz. Isso significa que
é um fator da equação cúbica.
Passo 4
Vamos dividir a equação característica por
para encontrar os outros fatores. Fazendo a divisão, temos:
Então, a equação se torna:
Passo 5
Agora, resolvemos cada fator igualado a zero:
-
⟹ -
⟹ ⟹
Então, as raízes são
,
, e
.
Passo 6
Com as raízes encontradas, a solução geral da EDO é formada pela combinação das soluções correspondentes a cada raiz:
- Para
, a solução é . - Para
e , que são raízes complexas, a solução é .
Resposta
A solução geral da EDO
é: