A partir da soma da série geométrica sumn=1^infty x^n, para |x|<1, encontre as somas das séries abaixo.
(h) sumn=0^infty (-1)^n2^n(n+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa soma infinita: .
Aqui, estamos lidando com uma série geométrica modificada. Para resolver, vamos precisar entender como manipular séries e usar integrais para simplificar. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da soma da série geométrica básica:
sumn=0^infty x^n = 11 - x para |x| < 1
Mas nossa série tem alguns elementos a mais: e no denominador, além de . Vamos ajustar isso.

Passo 3

Observamos que sumn=0^infty (-12)^nn+1 pode ser escrito como . Então, nossa série fica:
Para lidar com o termo no denominador, vamos usar uma técnica que envolve integrais.

Passo 4

Sabemos que:
sumn=0^infty x^n = 11 - x
Integrando ambos os lados de integral0^x sumn=0^infty t^n dt = integral0^x 11 - t dt a sumn=0^infty x^n+1n+1 = -ln(1 - x) :
Isso nos dá:

Passo 5

No nosso caso, temos sumn=0^infty (-12)^n+1n+1 = -ln(1 - -12) em vez de sumn=0^infty (-12)^n+1n+1 = -ln(32) . Vamos substituir por :
Simplificando:

Passo 6

Mas nossa série original é:
sumn=0^infty (-12)^nn+1 = 1-12 cdot (-ln(32)) = -2 cdot ln(32)

Resposta

A soma da série é .

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