A partir da soma da série geométrica
, para
, encontre as somas das séries abaixo.
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa soma infinita:
.
Aqui, estamos lidando com uma série geométrica modificada. Para resolver, vamos precisar entender como manipular séries e usar integrais para simplificar. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da soma da série geométrica básica:
Mas nossa série tem alguns elementos a mais:
e
no denominador, além de
. Vamos ajustar isso.
Passo 3
Observamos que
pode ser escrito como
. Então, nossa série fica:
Para lidar com o termo
no denominador, vamos usar uma técnica que envolve integrais.
Passo 4
Sabemos que:
Integrando ambos os lados de
a
:
Isso nos dá:
Passo 5
No nosso caso, temos
em vez de
. Vamos substituir
por
:
Simplificando:
Passo 6
Mas nossa série original é:
Resposta
A soma da série é
.