Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
(a) f(x) = 1 / (1 + x^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências centrada em zero para a função . Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são somas infinitas de termos envolvendo potências de . Para isso, vamos precisar lembrar da série geométrica, que é uma ferramenta chave para resolver esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série geométrica básica. A série geométrica é dada por:
onde . Essa fórmula nos permite expressar uma fração na forma de uma série infinita, desde que o valor absoluto de seja menor que 1.

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa função com a forma da série geométrica. Observamos que podemos reescrever da seguinte maneira:
Aqui, identificamos que . Isso nos permite aplicar a fórmula da série geométrica diretamente.

Passo 4

Aplicando a série geométrica com , temos:
Isso significa que nossa função pode ser escrita como uma série infinita onde cada termo é .

Passo 5

Vamos simplificar a expressão :
Portanto, a série fica:

Resposta

A representação em série de potências centrada em zero para a função é:

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