Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências centrada em zero para a função
. Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são somas infinitas de termos envolvendo potências de
. Para isso, vamos precisar lembrar da série geométrica, que é uma ferramenta chave para resolver esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série geométrica básica. A série geométrica é dada por:
onde
. Essa fórmula nos permite expressar uma fração na forma de uma série infinita, desde que o valor absoluto de
seja menor que 1.
Passo 3
Agora, vamos comparar a nossa função
com a forma da série geométrica. Observamos que podemos reescrever
da seguinte maneira:
Aqui, identificamos que
. Isso nos permite aplicar a fórmula da série geométrica diretamente.
Passo 4
Aplicando a série geométrica com
, temos:
Isso significa que nossa função
pode ser escrita como uma série infinita onde cada termo é
.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão
:
Portanto, a série fica:
Resposta
A representação em série de potências centrada em zero para a função
é: