Um tanque de 4001 contém água salgada em uma densidade de
por litro, e um outro tanque contém 2001 de água doce. Existe um processo de drenagem que envia água do primeiro tanque ao segundo a uma taxa de
s. Modele a concentração de sal na água do tanque de água doce ao longo do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois tanques: o primeiro com água salgada e o segundo com água doce. O conteúdo está relacionado a mistura e concentração em soluções. Nosso objetivo é modelar como a concentração de sal na água doce muda ao longo do tempo quando a água salgada é transferida para ela a uma certa taxa. Para isso, vamos precisar usar equações diferenciais que descrevem como a concentração varia com o tempo.
Passo 2
Vamos definir as variáveis e constantes que vamos usar:
- Seja
a concentração de sal na água doce no segundo tanque no tempo . - O volume do primeiro tanque (água salgada) é
litros com uma densidade de sal de . - O volume do segundo tanque (água doce) é
litros. - A taxa de fluxo de água do primeiro para o segundo tanque é de
.
Passo 3
Vamos pensar no que está acontecendo: água salgada está sendo adicionada ao tanque de água doce, aumentando a quantidade de sal nesse tanque. Ao mesmo tempo, o líquido no segundo tanque está sendo misturado e, possivelmente, saindo, mas como o enunciado não menciona saída, consideraremos que todo o fluxo é apenas de entrada. Assim, a taxa de aumento do sal no segundo tanque depende da concentração da água que está entrando.
A quantidade de sal que entra por segundo é a taxa de fluxo multiplicada pela concentração do sal na água que chega:
Passo 4
Agora, vamos relacionar a taxa de mudança da concentração no segundo tanque. A quantidade total de sal no tanque de água doce é
. A taxa de variação dessa quantidade de sal é igual à taxa de entrada de sal:
Simplificando, temos:
Isolando a derivada:
Passo 5
Vamos resolver a equação diferencial:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a concentração inicial de sal no segundo tanque. Como o segundo tanque começa com água doce,
. Então:
Resposta
A concentração de sal na água do tanque de água doce ao longo do tempo é dada por:
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Modele a taxa de crescimento de uma população de coelhos em uma ilha sem predadores, sabendo que a taxa de crescimento dessa população no momento
é igual a
do total da população no momento
.
Dê a ordem de cada equação diferenciavel, classificando como EDO (equação diferenciavel ordinária) ou EDP (equação diferenciavel parcial). Estabeleça se ela é linear ou não.
Resolva os exercícios abaixo pelo método de separação de variáveis.
Considere a EDO
. Verifique se a função implícita
é uma solução da EDO dada.