Considere a EDO y'' - x y' - y = 0. Obtenha duas soluções da EDO em séries de potências em torno do ponto 0 , uma apenas com potências pares e outra apenas com potências ímpares.

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente tem a equação diferencial de segunda ordem . Nosso objetivo é encontrar duas soluções para essa equação usando séries de potências em torno de . Uma solução vai ter apenas potências pares de e a outra, apenas ímpares. Para isso, vamos usar o método de séries de potências, que envolve assumir que a solução pode ser escrita como uma soma infinita de termos com potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser expressa como uma série de potências centrada em 0:
Aqui, são os coeficientes que vamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de . A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial original:

Passo 5

Para facilitar a soma, vamos ajustar os índices das séries para que todas tenham a mesma potência de . Vamos mudar o índice na primeira soma substituindo por :
Agora, juntamos todas as somas:

Passo 6

Para que essa equação valha para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso nos dá a relação de recorrência:

Passo 7

Agora, vamos encontrar duas soluções separadas: uma com potências pares e outra com potências ímpares. Para isso, consideramos duas séries distintas:
  1. Solução com potências pares:
    Vamos assumir que para todo . Assim, a série fica apenas com termos de .
  2. Solução com potências ímpares:
    Aqui, assumimos que para todo , deixando apenas termos de .

Resposta

As duas soluções da equação diferencial em séries de potências em torno de 0 são:
  1. Solução com potências pares:
  2. Solução com potências ímpares:
    í
Essas séries representam as duas soluções independentes da equação diferencial dada, separando os termos pares e ímpares.

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