Considere a EDO
. Obtenha duas soluções da EDO em séries de potências em torno do ponto 0 , uma apenas com potências pares e outra apenas com potências ímpares.
Passo 1
Beleza, vamos começar! A gente tem a equação diferencial de segunda ordem
. Nosso objetivo é encontrar duas soluções para essa equação usando séries de potências em torno de
. Uma solução vai ter apenas potências pares de
e a outra, apenas ímpares. Para isso, vamos usar o método de séries de potências, que envolve assumir que a solução pode ser escrita como uma soma infinita de termos com potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser expressa como uma série de potências centrada em 0:
Aqui,
são os coeficientes que vamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de
. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Para facilitar a soma, vamos ajustar os índices das séries para que todas tenham a mesma potência de
. Vamos mudar o índice na primeira soma substituindo
por
:
Agora, juntamos todas as somas:
Passo 6
Para que essa equação valha para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Isso nos dá a relação de recorrência:
Passo 7
Agora, vamos encontrar duas soluções separadas: uma com potências pares e outra com potências ímpares. Para isso, consideramos duas séries distintas:
-
Solução com potências pares:
Vamos assumir quepara todo . Assim, a série fica apenas com termos de . -
Solução com potências ímpares:
Aqui, assumimos quepara todo , deixando apenas termos de .
Resposta
As duas soluções da equação diferencial
em séries de potências em torno de 0 são:
-
Solução com potências pares:
-
Solução com potências ímpares:
Essas séries representam as duas soluções independentes da equação diferencial dada, separando os termos pares e ímpares.