Seja L(y)(s) a transformada de Laplace da solução do PVI y'' + y = u2(t) - u5(t), y(0) = 0, y'(0) = 0. Obtenha a função que tem L(y)(s) como transformada de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) envolvendo uma equação diferencial com a transformada de Laplace. O conteúdo principal aqui é a Transformada de Laplace e como ela ajuda a resolver equações diferenciais. Vamos precisar aplicar as propriedades da transformada de Laplace e resolver a equação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a equação diferencial e as condições iniciais que temos:
Aqui, representa a função degrau unitário que começa em .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de é , onde .
Aplicando a transformada:
Substituindo pelas fórmulas:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos resolver para :
Esse é o resultado da transformada de Laplace da solução .

Resposta

A função que tem como transformada de Laplace é:

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