Seja a transformada de Laplace da solução do PVI . Obtenha a função que tem L(y)(s) como transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) envolvendo uma equação diferencial com a transformada de Laplace. O conteúdo principal aqui é a Transformada de Laplace e como ela ajuda a resolver equações diferenciais. Vamos precisar aplicar as propriedades da transformada de Laplace e resolver a equação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar a equação diferencial e as condições iniciais que temos:
Aqui, representa a função degrau unitário que começa em .
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de é , onde .
Aplicando a transformada:
Substituindo pelas fórmulas:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos resolver para :
Esse é o resultado da transformada de Laplace da solução .