Determine as integrais indefinidas, utilizando a regra do logaritmo.
integral x+3x^2+6 x+7 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral x+3x^2+6x+7 , dx. Para isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo frações racionais e a regra do logaritmo. Precisaremos completar o quadrado no denominador e fazer uma substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador x^2+6x+7. Isso ajuda a simplificar a expressão.
x^2 + 6x + 7 = (x + 3)^2 - 9 + 7 = (x + 3)^2 - 2
Então, a integral fica:
integral x+3(x+3)^2 - 2 , dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir u = x + 3. Assim, a derivada de u em relação a x é du = dx.
Substituindo na integral:
integral uu^2 - 2 , du

Passo 4

A integral integral uu^2 - 2 , du pode ser resolvida usando a regra do logaritmo. Observamos que o numerador u é a derivada do denominador u^2 - 2.
Portanto,
integral uu^2 - 2 , du = 12 ln|u^2 - 2| + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = x + 3:
12 ln|(x + 3)^2 - 2| + C = 12 ln|x^2 + 6x + 7| + C

Resposta

12 ln|x^2 + 6x + 7| + C

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