Suponha que u_n seja uma sequência monótona tal que 1 <= un <= 5. Esta sequência deve convergir? O que mais pode ser dito sobre o seu limite?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência que é monótona, ou seja, ela está sempre crescendo ou sempre diminuindo. Além disso, todos os termos dessa sequência estão entre 1 e 5, o que significa que ela é limitada. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência necessariamente converge e, se sim, o que podemos dizer sobre o seu limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser monótona e limitada. Uma sequência é monótona crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, e monótona decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior. Uma sequência limitada tem todos os seus termos dentro de certos limites, neste caso, entre 1 e 5.

Passo 3

Agora, um ponto importante da teoria das sequências diz que toda sequência monótona que é limitada deve necessariamente convergir. Isso é conhecido como o Teorema da Convergência Monótona. Ou seja, se temos uma sequência que está sempre aumentando ou sempre diminuindo e não “sai” de um intervalo fixo, ela vai se aproximar de um valor específico.

Passo 4

Aplicando esse teorema ao nosso caso, sabemos que é monótona e está limitada entre 1 e 5. Então, de acordo com o teorema, a sequência converge. Isso significa que, à medida que aumenta, os termos de vão se aproximando cada vez mais de um certo número.

Passo 5

Além disso, como todos os termos estão entre 1 e 5, o limite da sequência também deve estar dentro desse intervalo. Ou seja, o valor para o qual converge está entre 1 e 5.

Resposta

Sim, a sequência converge, e o seu limite está necessariamente entre 1 e 5.

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