Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
c) d y/d x = e^(3 x + 2 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando separação de variáveis. Essa técnica é útil quando conseguimos separar os termos que dependem de y dos que dependem de x. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais e como manipular exponenciais para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis y e x. Começamos isolando e :
Podemos reescrever o lado direito usando propriedades de exponenciais:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis colocando todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro lado. Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados para encontrar as funções de y e x. A integral fica:
Simplificando a fração no lado esquerdo:

Passo 5

Vamos calcular as integrais. A integral de em relação a y é:
E a integral de em relação a x é:
Onde e são constantes de integração.

Passo 6

Igualando as integrais e combinando as constantes:
Onde é uma nova constante.

Passo 7

Podemos reorganizar a equação para deixar y em termos de x se desejarmos uma solução explícita, mas geralmente deixamos a solução implícita. Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

Onde C é uma constante arbitrária.

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