Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
c)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando separação de variáveis. Essa técnica é útil quando conseguimos separar os termos que dependem de
dos que dependem de
. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais e como manipular exponenciais para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Começamos isolando
e
:
Podemos reescrever o lado direito usando propriedades de exponenciais:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis colocando todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados para encontrar as funções de
e
. A integral fica:
Simplificando a fração no lado esquerdo:
Passo 5
Vamos calcular as integrais. A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 6
Igualando as integrais e combinando as constantes:
Onde
é uma nova constante.
Passo 7
Podemos reorganizar a equação para deixar
em termos de
se desejarmos uma solução explícita, mas geralmente deixamos a solução implícita. Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
Onde
é uma constante arbitrária.