Considere a EDO . Determine:
b) A solução geral;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo linear de primeira ordem. O enunciado nos dá a EDO . Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa EDO que correspondem à forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é . No nosso caso, temos:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vamos multiplicar em toda a equação para simplificar e facilitar a solução. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Como geralmente representa tempo e assume valores positivos, podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Isso acontece porque:
Então, podemos reescrever a equação como:

Passo 5

Para encontrar , vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados por :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da EDO é:

Exercícios relacionados

Considere a EDO . Determine:
a) O fator integrante;
Resolva as EDOs:
b) .
Considere a EDO . Determine:
c) A curva descrita pela soluçio geral se esta assume sua constante igual a zero.
Determine a solugão do problema de valor inicial dado por