Considere a EDO
. Determine:
b) A solução geral;
b) A solução geral;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo linear de primeira ordem. O enunciado nos dá a EDO
. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa EDO que correspondem à forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
. No nosso caso, temos:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vamos multiplicar em toda a equação para simplificar e facilitar a solução. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Como
geralmente representa tempo e assume valores positivos, podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Isso acontece porque:
Então, podemos reescrever a equação como:
Passo 5
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Considere a EDO
. Determine:
a) O fator integrante;
a) O fator integrante;
Resolva as EDOs:
b) .
b)
Considere a EDO
. Determine:
c) A curva descrita pela soluçio geral se esta assume sua constante igual a zero.
c) A curva descrita pela soluçio geral se esta assume sua constante igual a zero.
Determine a solugão do problema de valor inicial dado por