Determine a solugão do problema de valor inicial dado por

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de primeira ordem. A equação que temos é:
Aqui, vamos usar o método do fator integrante para resolver a equação diferencial. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução geral para equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma padrão da equação diferencial de primeira ordem, que é:
No nosso caso, temos e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto . Então:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O que resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Considere a EDO . Determine:
c) A curva descrita pela soluçio geral se esta assume sua constante igual a zero.
Considere a EDO . Determine:
b) A solução geral;
Determine a solução geral dos sistemas de equações diferenciais:
Calcule , pela definição.