Determine a solugão do problema de valor inicial dado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de primeira ordem. A equação que temos é:
Aqui, vamos usar o método do fator integrante para resolver a equação diferencial. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução geral para equações lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma padrão da equação diferencial de primeira ordem, que é:
No nosso caso, temos e .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto . Então:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O que resulta em:
Onde é a constante de integração.
Passo 7
Isolamos dividindo ambos os lados por :
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :