Considere as EDOs abaixo: & I) y^prime prime-(2 alpha-1) y^prime+alpha(alpha-1) y=0 & II) x^prime prime+(3-beta) x^prime-2(beta-1) x=0 Para quais valores de beta podemos garantir que todas as soluções de II (com exceção da solução trivial) são ilimitadas quando t infty ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta duas Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de segunda ordem. Nosso foco é na EDO II:
x'' + (3 - beta) x' - 2(beta - 1) x = 0
Queremos descobrir para quais valores de β todas as soluções dessa equação, exceto a solução trivial (onde ), são ilimitadas quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como as soluções de EDOs de segunda ordem se comportam no longo prazo, analisando os espectros características e os tipos de soluções que elas geram.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa EDO. Para uma EDO da forma:
x'' + a x' + b x = 0
A equação característica é:
r^2 + a r + b = 0
No nosso caso, temos:
  • r^2 + (3 - beta) r - 2(beta - 1) = 0
Então, a equação característica fica:

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r = -(3 - beta) pm raiz(3 - beta)^2 - 4 cdot 1 cdot (-2(beta - 1))2 cdot 1 . A fórmula de resolução de equações do segundo grau é:
De
Primeiro, vamos calcular o discriminante :

Passo 4

Vamos simplificar o discriminante:
De
Então, , que é sempre positivo, indicando que teremos duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Agora, encontramos as raízes r = -(3 - beta) pm (beta + 1)2 e r1 = -3 + beta + beta + 12 = 2beta - 22 = beta - 1 :
r2 = -3 + beta - beta - 12 = -42 = -2
Calculando cada uma:
  1. Para o r1 = beta - 1 e r2 = -2 :
  2. Para o :
Então, as raízes são:

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento das soluções com base nas raízes encontradas. A solução geral da EDO é:
x(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^(beta - 1) t + C2 e^-2 t
Queremos que todas as soluções não triviais sejam ilimitadas quando . Vamos ver o que cada termo faz:
  • Termo :
    • Se (ou seja, ), esse termo cresce exponencialmente.
    • Se (ou seja, ), esse termo é constante.
    • Se (ou seja, ), esse termo decresce para zero.
  • Termo :
    • Sempre decresce para zero conforme .
Para que todas as soluções não triviais sejam ilimitadas, precisamos que ambos os termos não sejam limitados. Porém, como o segundo termo sempre tende a zero, ele não contribui para a solução ser ilimitada. O único termo que pode tornar a solução ilimitada é , e isso só acontece se .
Portanto, se , qualquer solução com será ilimitada. Contudo, se e , a solução ainda seria limitada. Porém, a condição garante que existe pelo menos uma parte da solução que é ilimitada.

Resposta

Para garantir que todas as soluções não triviais da EDO II sejam ilimitadas quando , devemos ter .

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