A temperatura em cada ponto de uma placa de metal é dada por
T(x, y) = 16 / (1 + x^2 + 2 * y^2)
Encontre a equação da isoterma que passa pelo ponto P=(1, 1) e o gradiente neste ponto. Esboce um desenho de ambos no mesmo sistema de coordenadas, mostrando o aspecto geométrico; Resp: (a) x^2 + 2y^2 = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a equação da isoterma que passa pelo ponto numa placa de metal onde a temperatura é dada por . Além disso, precisamos calcular o gradiente dessa temperatura no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da isoterma que passa por . Uma isoterma é o conjunto de pontos onde a temperatura é constante. Então, vamos calcular a temperatura no ponto :
Agora, queremos todos os pontos onde :
Vamos resolver essa equação para e :
Então, a equação da isoterma é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente de no ponto . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a e .
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de :
Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :
Agora, substituímos e :
Então, o gradiente de no ponto é:

Resposta

(a)

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