A temperatura em cada ponto de uma placa de metal é dada por
Encontre a equação da isoterma que passa pelo ponto e o gradiente neste ponto. Esboce um desenho de ambos no mesmo sistema de coordenadas, mostrando o aspecto geométrico; Resp: (a) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a equação da isoterma que passa pelo ponto numa placa de metal onde a temperatura é dada por . Além disso, precisamos calcular o gradiente dessa temperatura no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da isoterma que passa por . Uma isoterma é o conjunto de pontos onde a temperatura é constante. Então, vamos calcular a temperatura no ponto :
Agora, queremos todos os pontos onde :
Vamos resolver essa equação para e :
Então, a equação da isoterma é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente de no ponto . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a e .
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de :