Use a Definição 1 vista em aula para mostrar que as sequências abaixo tem limite : ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a sequência tem limite . Vamos usar a Definição 1 de limite de uma sequência, que provavelmente é a definição formal com e . Para isso, vamos precisar entender como aplicar essa definição passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz a Definição 1 de limite para sequências: diz que se, para todo , existe um número tal que para todo , a diferença é menor que .
Passo 3
No nosso caso, e . Então, queremos mostrar que para qualquer , existe um tal que:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar . Queremos que:
Multiplicando ambos os lados por (que é positivo para ), temos:
Dividindo ambos os lados por :
Adicionando 1 em ambos os lados:
Dividindo por 2:
Ou seja:
Para garantir que isso seja verdadeiro, podemos escolher:
Onde representa o menor número inteiro maior ou igual ao valor dentro.
Passo 5
Com esse escolhido, garantimos que para todo :
Isso mostra, conforme a Definição 1, que a sequência realmente tem limite .