superfície de um lago é representada por uma região
no plano
e a sua profundidade em cada ponto
é dada pela função
(metros). Um menino está nadando no lago e, num certo instante, se encontra no ponto
.
Determine a taxa de variação da profundidade se o menino nadar na direção do vetor
. Resp:
.
Determine a taxa de variação da profundidade se o menino nadar na direção do vetor
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a superfície de um lago representada pela função
, que nos dá a profundidade em cada ponto
. O garoto está nadando no ponto
e queremos descobrir qual é a taxa de variação da profundidade se ele nadar na direção do vetor
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e derivadas direcionais em cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a taxa de variação da profundidade na direção de um vetor específico é chamada de derivada direcional. Para encontrar essa derivada direcional, seguimos alguns passos:
-
Calcular o gradiente da função
: O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e . -
Normalizar o vetor direção
: Isso significa transformar o vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. -
Calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário: Esse produto escalar nos dá a derivada direcional desejada.
Vamos seguir esses passos.
Passo 3
1. Calculando o gradiente de
:
A função dada é
.
As derivadas parciais são:
Então, o gradiente é:
No ponto
:
2. Normalizando o vetor direção
:
Primeiro, calculamos o comprimento (magnitude) de
:
Agora, o vetor unitário
na direção de
é:
3. Calculando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Resposta
A taxa de variação da profundidade na direção do vetor
é -52,8 metros.