A superfície de um lago é representada por uma região D no plano x y e a sua profundidade em cada ponto (x, y) é dada pela função f(x, y) = 300 - 2*x^2 - 3*y^2 (metros). Um menino está nadando no lago e, num certo instante, se encontra no ponto P=(4,9).
Determine a taxa de variação da profundidade se o menino nadar na direção do vetor u = (3, 4). Resp: -52.8.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a superfície de um lago representada pela função , que nos dá a profundidade em cada ponto . O garoto está nadando no ponto e queremos descobrir qual é a taxa de variação da profundidade se ele nadar na direção do vetor . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e derivadas direcionais em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a taxa de variação da profundidade na direção de um vetor específico é chamada de derivada direcional. Para encontrar essa derivada direcional, seguimos alguns passos:
  1. Calcular o gradiente da função : O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e .
  2. Normalizar o vetor direção : Isso significa transformar o vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1.
  3. Calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário: Esse produto escalar nos dá a derivada direcional desejada.
Vamos seguir esses passos.

Passo 3

1. Calculando o gradiente de :
A função dada é .
As derivadas parciais são:
Então, o gradiente é:
No ponto :
2. Normalizando o vetor direção :
Primeiro, calculamos o comprimento (magnitude) de :
Agora, o vetor unitário na direção de é:
3. Calculando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:

Resposta

A taxa de variação da profundidade na direção do vetor é -52,8 metros.

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