Considere os PVIs abaixo:
I)
II) .
a) Determine valor de para que a solução de se aproxime de zero quando ;
b) Determine o valor de para que a solução de II se aproxime de zero quando .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui são dois Problemas de Valor Inicial (PVI) envolvendo equações diferenciais. O objetivo é encontrar os valores de e que fazem as soluções dessas equações se aproximarem de zero quando tende ao infinito. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas e análise de raízes características.

Passo 2

Vamos começar com o PVI I:
Primeiro, precisamos encontrar a solução geral dessa equação diferencial. Para isso, encontramos a equação característica associada:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .

Passo 5

Aplicando :
E derivando para usar a condição :
Aplicando :

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo em :

Passo 7

Agora, a solução fica:
Queremos que se aproxime de zero quando . Observando os termos:
  • cresce para infinito se .
  • tende a zero.
Para que não cresça para infinito, precisamos que :

Passo 8

Portanto, o valor de que faz a solução de I se aproximar de zero quando é:

Passo 9

Agora, vamos resolver o PVI II:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz a solução dessa equação se aproximar de zero quando tende ao infinito. Vamos seguir um processo semelhante ao anterior.

Passo 10

Primeiro, encontramos a equação característica da equação diferencial:
Resolvendo para :

Passo 11

Com as raízes e , a solução geral é:
Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .

Passo 12

Aplicando :
Derivando para usar a condição :
Aplicando :

Passo 13

Temos o sistema:
Multiplicando a segunda equação por 2:
Agora, somando as duas equações:
Substituindo em :

Passo 14

A solução fica:
Queremos que se aproxime de zero quando . Observando os termos:
  • cresce para infinito se .
  • tende a zero.
Para que não cresça para infinito, precisamos que :

Resposta

b)

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a) Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de I se aproximam de zero quando ?
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