Considere os PVIs abaixo:
I)
,
II)
.
a) Determine
valor de
para que a solução de
se aproxime de zero quando
;
b) Determine o valor de
para que a solução de II se aproxime de zero quando
.
I)
II)
a) Determine
b) Determine o valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui são dois Problemas de Valor Inicial (PVI) envolvendo equações diferenciais. O objetivo é encontrar os valores de
e
que fazem as soluções dessas equações se aproximarem de zero quando
tende ao infinito. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas e análise de raízes características.
Passo 2
Vamos começar com o PVI I:
Primeiro, precisamos encontrar a solução geral dessa equação diferencial. Para isso, encontramos a equação característica associada:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 5
Aplicando
:
E derivando
para usar a condição
:
Aplicando
:
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo em
:
Passo 7
Agora, a solução fica:
Queremos que
se aproxime de zero quando
. Observando os termos:
-
cresce para infinito se . -
tende a zero.
Para que
não cresça para infinito, precisamos que
:
Passo 8
Portanto, o valor de
que faz a solução de I se aproximar de zero quando
é:
Passo 9
Agora, vamos resolver o PVI II:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz a solução dessa equação se aproximar de zero quando
tende ao infinito. Vamos seguir um processo semelhante ao anterior.
Passo 10
Primeiro, encontramos a equação característica da equação diferencial:
Resolvendo para
:
Passo 11
Com as raízes
e
, a solução geral é:
Aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 12
Aplicando
:
Derivando
para usar a condição
:
Aplicando
:
Passo 13
Temos o sistema:
Multiplicando a segunda equação por 2:
Agora, somando as duas equações:
Substituindo em
:
Passo 14
A solução fica:
Queremos que
se aproxime de zero quando
. Observando os termos:
-
cresce para infinito se . -
tende a zero.
Para que
não cresça para infinito, precisamos que
:
Resposta
b)
Exercícios relacionados
Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando
aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando
aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
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a) Para quais valores de
podemos garantir que todas as soluções de I se aproximam de zero quando
?
b) Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de I (com exceção da solução trivial) são ilimitadas quando
?
c) Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de II se aproximam de zero quando
?
d) Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de II (com exceção da solução trivial) são ilimitadas quando
?
b) Para quais valores de
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Dados os pares de funções abaixo (que são soluções de alguma EDO de segunda ordem, linear e homogênea, com coeficientes contínuos em toda a reta), encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em
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