Considere os PVIs abaixo:
I)
,
II)
.
a) Determine
valor de
para que a solução de
se aproxime de zero quando
;
b) Determine o valor de
para que a solução de II se aproxime de zero quando
.
I)
II)
a) Determine
b) Determine o valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui são dois Problemas de Valor Inicial (PVI) envolvendo equações diferenciais. O objetivo é encontrar os valores de
e
que fazem as soluções dessas equações se aproximarem de zero quando
tende ao infinito. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas e análise de raízes características.
Passo 2
Vamos começar com o PVI I:
Primeiro, precisamos encontrar a solução geral dessa equação diferencial. Para isso, encontramos a equação característica associada:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 5
Aplicando
:
E derivando
para usar a condição
:
Aplicando
:
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo em
:
Passo 7
Agora, a solução fica:
Queremos que
se aproxime de zero quando
. Observando os termos:
-
cresce para infinito se . -
tende a zero.
Para que
não cresça para infinito, precisamos que
:
Passo 8
Portanto, o valor de
que faz a solução de I se aproximar de zero quando
é:
Passo 9
Agora, vamos resolver o PVI II:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz a solução dessa equação se aproximar de zero quando
tende ao infinito. Vamos seguir um processo semelhante ao anterior.
Passo 10
Primeiro, encontramos a equação característica da equação diferencial:
Resolvendo para
:
Passo 11
Com as raízes
e
, a solução geral é:
Aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 12
Aplicando
:
Derivando
para usar a condição
:
Aplicando
:
Passo 13
Temos o sistema:
Multiplicando a segunda equação por 2:
Agora, somando as duas equações:
Substituindo em
:
Passo 14
A solução fica:
Queremos que
se aproxime de zero quando
. Observando os termos:
-
cresce para infinito se . -
tende a zero.
Para que
não cresça para infinito, precisamos que
:
Resposta
b)