Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando t aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas. F(t) = (e^t, e^-t), t em R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva plana dada pela função , indicar com setas o sentido em que a curva é percorrida quando t aumenta e, além disso, eliminar o parâmetro t para encontrar a equação cartesiana da curva. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções paramétricas e manipulação de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função paramétrica . Aqui, x é igual a e^t e y é igual a e^(-t). Nosso objetivo é eliminar o parâmetro t para relacionar x e y diretamente.

Passo 3

Começamos resolvendo uma das equações para t. Vamos pegar a primeira componente:
Para isolar t, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 4

Agora que temos , substituímos esse valor na segunda componente da função para eliminar o parâmetro:
Lembrando que , já que .

Passo 5

Então, a equação cartesiana que relaciona x e y é:
Essa é a equação de uma hipérbole que está no primeiro e terceiro quadrantes, mas como x e y são exponenciais de t, que podem ser quaisquer números reais, aqui consideramos e .

Passo 6

Para esboçar a curva, plotamos no primeiro quadrante. Conforme t aumenta, cresce e diminui. Portanto, a direção da curva vai do ponto onde x é pequeno e y é grande (próximo ao eixo y) para onde x é grande e y é pequeno (próximo ao eixo x). Colocamos setas indicando esse movimento da esquerda para a direita, de cima para baixo.

Resposta

A equação cartesiana da curva é . A curva é uma hipérbole no primeiro quadrante, com setas indicando o movimento da esquerda para a direita conforme t aumenta.

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