Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando
aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva plana dada pela função
, indicar com setas o sentido em que a curva é percorrida quando
aumenta e, além disso, eliminar o parâmetro
para encontrar a equação cartesiana da curva. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções paramétricas e manipulação de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função paramétrica
. Aqui,
é igual a
e
é igual a
. Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
para relacionar
e
diretamente.
Passo 3
Começamos resolvendo uma das equações para
. Vamos pegar a primeira componente:
Para isolar
, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 4
Agora que temos
, substituímos esse valor na segunda componente da função para eliminar o parâmetro:
Lembrando que
, já que
.
Passo 5
Então, a equação cartesiana que relaciona
e
é:
Essa é a equação de uma hipérbole que está no primeiro e terceiro quadrantes, mas como
e
são exponenciais de
, que podem ser quaisquer números reais, aqui consideramos
e
.
Passo 6
Para esboçar a curva, plotamos
no primeiro quadrante. Conforme
aumenta,
cresce e
diminui. Portanto, a direção da curva vai do ponto onde
é pequeno e
é grande (próximo ao eixo
) para onde
é grande e
é pequeno (próximo ao eixo
). Colocamos setas indicando esse movimento da esquerda para a direita, de cima para baixo.
Resposta
A equação cartesiana da curva é
. A curva é uma hipérbole no primeiro quadrante, com setas indicando o movimento da esquerda para a direita conforme
aumenta.