Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva plana dada pela função , indicar com setas o sentido em que a curva é percorrida quando aumenta e, além disso, eliminar o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções paramétricas e manipulação de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função paramétrica . Aqui, é igual a e é igual a . Nosso objetivo é eliminar o parâmetro para relacionar e diretamente.

Passo 3

Começamos resolvendo uma das equações para . Vamos pegar a primeira componente:
Para isolar , aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 4

Agora que temos , substituímos esse valor na segunda componente da função para eliminar o parâmetro:
Lembrando que , já que .

Passo 5

Então, a equação cartesiana que relaciona e é:
Essa é a equação de uma hipérbole que está no primeiro e terceiro quadrantes, mas como e são exponenciais de , que podem ser quaisquer números reais, aqui consideramos e .

Passo 6

Para esboçar a curva, plotamos no primeiro quadrante. Conforme aumenta, cresce e diminui. Portanto, a direção da curva vai do ponto onde é pequeno e é grande (próximo ao eixo ) para onde é grande e é pequeno (próximo ao eixo ). Colocamos setas indicando esse movimento da esquerda para a direita, de cima para baixo.

Resposta

A equação cartesiana da curva é . A curva é uma hipérbole no primeiro quadrante, com setas indicando o movimento da esquerda para a direita conforme aumenta.

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Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
Considere os PVIs abaixo:
I)
II) .
a) Determine valor de para que a solução de se aproxime de zero quando ;
b) Determine o valor de para que a solução de II se aproxime de zero quando .
Considere as EDOs abaixo:
a) Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de I se aproximam de zero quando ?
b) Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de I (com exceção da solução trivial) são ilimitadas quando ?
c) Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de II se aproximam de zero quando ?
d) Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de II (com exceção da solução trivial) são ilimitadas quando ?