Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando
aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva plana dada pela função
, indicar com setas o sentido em que a curva é percorrida quando
aumenta e, além disso, eliminar o parâmetro
para encontrar a equação cartesiana da curva. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções paramétricas e manipulação de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função paramétrica
. Aqui,
é igual a
e
é igual a
. Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
para relacionar
e
diretamente.
Passo 3
Começamos resolvendo uma das equações para
. Vamos pegar a primeira componente:
Para isolar
, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 4
Agora que temos
, substituímos esse valor na segunda componente da função para eliminar o parâmetro:
Lembrando que
, já que
.
Passo 5
Então, a equação cartesiana que relaciona
e
é:
Essa é a equação de uma hipérbole que está no primeiro e terceiro quadrantes, mas como
e
são exponenciais de
, que podem ser quaisquer números reais, aqui consideramos
e
.
Passo 6
Para esboçar a curva, plotamos
no primeiro quadrante. Conforme
aumenta,
cresce e
diminui. Portanto, a direção da curva vai do ponto onde
é pequeno e
é grande (próximo ao eixo
) para onde
é grande e
é pequeno (próximo ao eixo
). Colocamos setas indicando esse movimento da esquerda para a direita, de cima para baixo.
Resposta
A equação cartesiana da curva é
. A curva é uma hipérbole no primeiro quadrante, com setas indicando o movimento da esquerda para a direita conforme
aumenta.
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aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
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aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
Considere os PVIs abaixo:
I) ,
II) .
a) Determine valor de
para que a solução de
se aproxime de zero quando
;
b) Determine o valor de para que a solução de II se aproxime de zero quando
.
I)
II)
a) Determine
b) Determine o valor de
Considere as EDOs abaixo:
a) Para quais valores de
podemos garantir que todas as soluções de I se aproximam de zero quando
?
b) Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de I (com exceção da solução trivial) são ilimitadas quando
?
c) Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de II se aproximam de zero quando
?
d) Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de II (com exceção da solução trivial) são ilimitadas quando
?
b) Para quais valores de
c) Para quais valores de
d) Para quais valores de