Considere as EDOs abaixo: Para quais valores de podemos garantir que todas as soluções de II (com exceção da solução trivial) são ilimitadas quando ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária de segunda ordem:
Nosso objetivo aqui é descobrir para quais valores de todas as soluções não triviais dessa equação são ilimitadas quando tende ao infinito. Ou seja, queremos saber quando as soluções vão “explodir” conforme o tempo passa.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de equação característica das EDOs lineares, que nos ajuda a encontrar o comportamento das soluções com base nas raízes dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à nossa EDO. Para uma equação diferencial linear de segunda ordem da forma:
a equação característica é:
Comparando com a nossa equação:
identificamos que:
Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Isso nos dirá como as soluções da EDO se comportam.
A equação é:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver equações quadráticas :
Aqui, , , e , então:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 4

Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da raiz:
Observamos que:
Portanto, a equação das raízes fica:
Vamos separar as duas possibilidades:
  1. Com o sinal positivo:
  1. Com o sinal negativo:
Então, as raízes são e .

Passo 5

Agora, queremos que todas as soluções não triviais sejam ilimitadas quando . Isso acontece quando pelo menos uma das raízes tem parte real positiva, já que isso levará a termos exponenciais que crescem sem limite.
Das nossas raízes:
  • (que é sempre negativo)
Portanto, para que seja positivo:
Assim, para qualquer , teremos uma raiz positiva ( ), o que garante que as soluções crescerão sem limite à medida que aumenta.

Resposta

Para todos os valores de tais que , todas as soluções não triviais da equação diferencial são ilimitadas quando .

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