Considere as EDOs abaixo:
Para quais valores de
podemos garantir que todas as soluções de II (com exceção da solução trivial) são ilimitadas quando
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária de segunda ordem:
Nosso objetivo aqui é descobrir para quais valores de
todas as soluções não triviais dessa equação são ilimitadas quando
tende ao infinito. Ou seja, queremos saber quando as soluções vão “explodir” conforme o tempo passa.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de equação característica das EDOs lineares, que nos ajuda a encontrar o comportamento das soluções com base nas raízes dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à nossa EDO. Para uma equação diferencial linear de segunda ordem da forma:
a equação característica é:
Comparando com a nossa equação:
identificamos que:
Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Isso nos dirá como as soluções da EDO se comportam.
A equação é:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver equações quadráticas
:
Aqui,
,
, e
, então:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 4
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da raiz:
Observamos que:
Portanto, a equação das raízes fica:
Vamos separar as duas possibilidades:
- Com o sinal positivo:
- Com o sinal negativo:
Então, as raízes são
e
.
Passo 5
Agora, queremos que todas as soluções não triviais sejam ilimitadas quando
. Isso acontece quando pelo menos uma das raízes tem parte real positiva, já que isso levará a termos exponenciais que crescem sem limite.
Das nossas raízes:
-
-
(que é sempre negativo)
Portanto, para que
seja positivo:
Assim, para qualquer
, teremos uma raiz positiva (
), o que garante que as soluções crescerão sem limite à medida que
aumenta.
Resposta
Para todos os valores de
tais que
, todas as soluções não triviais da equação diferencial são ilimitadas quando
.
Exercícios relacionados
Considere os PVIs abaixo: II)
. Determine o valor de
para que a solução de II se aproxime de zero quando
.
Considere as EDOs abaixo:
Para quais valores de
podemos garantir que todas as soluções de II se aproximam de zero quando
?
Dados os pares de funções abaixo: (d)\left{t^{2}, 4 t-3 t^{2}\right}, encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em
;
Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é: (b)