Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é: (b)
Passo 1
Vamos começar resumindo o enunciado: precisamos encontrar uma equação diferencial cuja solução geral é
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e analisar a solução geral para determinar a equação.
Passo 2
Primeiro, observamos que a solução geral fornecida tem duas partes:
e
. Isso indica que a equação diferencial é de segunda ordem e tem raízes repetidas no polinômio característico.
Passo 3
Quando temos soluções da forma
e
, isso sugere que a equação diferencial associada tem raízes repetidas no polinômio característico. Ou seja, o polinômio característico é
.
Passo 4
Expandindo o polinômio característico
, temos:
Portanto, a equação característica é
.
Passo 5
A equação diferencial correspondente a esse polinômio característico é:
onde
é a segunda derivada de
,
é a primeira derivada, e
é a função original.
Resposta
A equação diferencial cuja solução geral é
é:
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