Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é: (b)

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado: precisamos encontrar uma equação diferencial cuja solução geral é . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e analisar a solução geral para determinar a equação.

Passo 2

Primeiro, observamos que a solução geral fornecida tem duas partes: e . Isso indica que a equação diferencial é de segunda ordem e tem raízes repetidas no polinômio característico.

Passo 3

Quando temos soluções da forma e , isso sugere que a equação diferencial associada tem raízes repetidas no polinômio característico. Ou seja, o polinômio característico é .

Passo 4

Expandindo o polinômio característico , temos:
Portanto, a equação característica é .

Passo 5

A equação diferencial correspondente a esse polinômio característico é:
onde é a segunda derivada de , é a primeira derivada, e é a função original.

Resposta

A equação diferencial cuja solução geral é é:

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