Dados os pares de funções abaixo: (d)\left{t^{2}, 4 t-3 t^{2}\right}, encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em ;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um par de funções: e . O objetivo é calcular o Wronskiano dessas funções no intervalo de a e, com base nisso, decidir se essas funções são linearmente independentes ou dependentes. Para isso, vamos precisar conhecer o que é o Wronskiano e como ele nos ajuda a determinar a independência linear de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano é uma ferramenta usada no cálculo para verificar se um conjunto de funções é linearmente independente. Para duas funções e , o Wronskiano é definido como:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as funções são linearmente independentes nesse intervalo. Se for zero para todo o intervalo, elas são linearmente dependentes.

Passo 3

Agora, vamos calcular o Wronskiano das funções dadas. Primeiro, identificamos e . Em seguida, precisamos encontrar as derivadas dessas funções.
Primeiro, derivamos :
Depois, derivamos :

Passo 4

Agora que temos , , e , podemos calcular o Wronskiano:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 5

Vamos expandir os termos:
Substituindo de volta na expressão do Wronskiano:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão:
Observamos que e , então:

Passo 7

Agora que encontramos o Wronskiano, , precisamos verificar se ele é zero no intervalo considerado .
Para isso, analisamos a expressão . Como o quadrado de qualquer número real é não negativo, . Portanto, .
O Wronskiano será zero apenas quando . Para todos os outros valores de , .

Resposta

Como o Wronskiano é diferente de zero para qualquer no intervalo , as funções e são linearmente independentes nesse intervalo.

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Dados os pares de funções abaixo: (a)\left{e^{-2 t}, t e^{-2 t}\right}, encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em ;