Considere ei(t) uma base cartesiana tal que
ei(t)=Ri j(t) cj
onde ci é a base cartesiana fixa.
Mostre que
d ei(t)d t=Mi j(t) ej

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma base cartesiana que muda com o tempo, representada por ei(t). Essa base é obtida a partir de uma base fixa ci usando uma matriz de rotação Rij(t). Queremos mostrar que a derivada dessa base em relação ao tempo pode ser expressa como Mij(t) ej.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer:
  • Derivadas de vetores em bases que mudam com o tempo.
  • Matrizes de rotação e como elas descrevem a orientação da base.
  • Como aplicar a regra da cadeia para derivar expressões que dependem do tempo.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a expressão da base móvel em termos da base fixa:
ei(t) = Rij(t) cj
Aqui, Rij(t) é a matriz de rotação que depende do tempo, e cj são os vetores da base fixa.

Passo 3

Agora, vamos derivar ei(t) em relação ao tempo. Usando a regra da derivada para produtos de funções vetoriais e escalares, temos:
d ei(t)dt = d Rij(t)dt cj
Isso porque a base fixa cj não depende do tempo, então sua derivada é zero.

Passo 4

Vamos denotar a derivada da matriz de rotação como:
d Rij(t)dt = Mik(t) Rkj(t)
Aqui, Mik(t) é uma matriz que relaciona a taxa de variação da rotação com o tempo. Ela captura como a base está girando.

Passo 5

Substituindo a expressão da derivada de Rij(t) na equação da derivada de ei(t), temos:
d ei(t)dt = Mik(t) Rkj(t) cj
Mas lembramos que ej(t) = Rkj(t) cj, então podemos substituir:
d ei(t)dt = Mik(t) ek(t)

Passo 6

Por conveniência, podemos renomear o índice de soma de k para j (já que são índices de soma, podemos usar qualquer letra):
d ei(t)dt = Mij(t) ej(t)
Isso mostra exatamente o que queríamos provar: que a derivada da base móvel é igual a Mij(t) vezes a base móvel.

Resposta

Portanto,
d ei(t)dt = Mij(t) ej(t)

Exercícios relacionados