Considere
uma base cartesiana tal que
onde
é a base cartesiana fixa.
Mostre que
Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma base cartesiana que muda com o tempo, representada por
. Essa base é obtida a partir de uma base fixa
usando uma matriz de rotação
. Queremos mostrar que a derivada dessa base em relação ao tempo pode ser expressa como
.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer:
- Derivadas de vetores em bases que mudam com o tempo.
- Matrizes de rotação e como elas descrevem a orientação da base.
- Como aplicar a regra da cadeia para derivar expressões que dependem do tempo.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a expressão da base móvel em termos da base fixa:
Aqui,
é a matriz de rotação que depende do tempo, e
são os vetores da base fixa.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação ao tempo. Usando a regra da derivada para produtos de funções vetoriais e escalares, temos:
Isso porque a base fixa
não depende do tempo, então sua derivada é zero.
Passo 4
Vamos denotar a derivada da matriz de rotação como:
Aqui,
é uma matriz que relaciona a taxa de variação da rotação com o tempo. Ela captura como a base está girando.
Passo 5
Substituindo a expressão da derivada de
na equação da derivada de
, temos:
Mas lembramos que
, então podemos substituir:
Passo 6
Por conveniência, podemos renomear o índice de soma de
para
(já que são índices de soma, podemos usar qualquer letra):
Isso mostra exatamente o que queríamos provar: que a derivada da base móvel é igual a
vezes a base móvel.
Resposta
Portanto,