Considere uma base cartesiana tal que
onde é a base cartesiana fixa.
Mostre que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma base cartesiana que muda com o tempo, representada por . Essa base é obtida a partir de uma base fixa usando uma matriz de rotação . Queremos mostrar que a derivada dessa base em relação ao tempo pode ser expressa como .
Para resolver isso, vamos precisar conhecer:
  • Derivadas de vetores em bases que mudam com o tempo.
  • Matrizes de rotação e como elas descrevem a orientação da base.
  • Como aplicar a regra da cadeia para derivar expressões que dependem do tempo.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a expressão da base móvel em termos da base fixa:
Aqui, é a matriz de rotação que depende do tempo, e são os vetores da base fixa.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação ao tempo. Usando a regra da derivada para produtos de funções vetoriais e escalares, temos:
Isso porque a base fixa não depende do tempo, então sua derivada é zero.

Passo 4

Vamos denotar a derivada da matriz de rotação como:
Aqui, é uma matriz que relaciona a taxa de variação da rotação com o tempo. Ela captura como a base está girando.

Passo 5

Substituindo a expressão da derivada de na equação da derivada de , temos:
Mas lembramos que , então podemos substituir:

Passo 6

Por conveniência, podemos renomear o índice de soma de para (já que são índices de soma, podemos usar qualquer letra):
Isso mostra exatamente o que queríamos provar: que a derivada da base móvel é igual a vezes a base móvel.

Resposta

Portanto,

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sendo uma base cartesiana Levógira, mostre que
Sabe-se que o elemento de área de uma superfície parametrizada por , é dado por
Se , mostre que
onde é o determinante da matriz .
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ponto) Em um motor 0,25 moles de um gás ideal monoatômico em um cilindro expande rapidamente e adiabaticamente contra o pistão. No processo, a temperatura do gás cai de 1150K para 400K. Qual o trabalho realizado pelo gás?