Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma base cartesiana que muda com o tempo, representada por . Essa base é obtida a partir de uma base fixa usando uma matriz de rotação . Queremos mostrar que a derivada dessa base em relação ao tempo pode ser expressa como .
Para resolver isso, vamos precisar conhecer:
Derivadas de vetores em bases que mudam com o tempo.
Matrizes de rotação e como elas descrevem a orientação da base.
Como aplicar a regra da cadeia para derivar expressões que dependem do tempo.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a expressão da base móvel em termos da base fixa:
Aqui, é a matriz de rotação que depende do tempo, e são os vetores da base fixa.
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação ao tempo. Usando a regra da derivada para produtos de funções vetoriais e escalares, temos:
Isso porque a base fixa não depende do tempo, então sua derivada é zero.
Passo 4
Vamos denotar a derivada da matriz de rotação como:
Aqui, é uma matriz que relaciona a taxa de variação da rotação com o tempo. Ela captura como a base está girando.
Passo 5
Substituindo a expressão da derivada de na equação da derivada de , temos:
Mas lembramos que , então podemos substituir:
Passo 6
Por conveniência, podemos renomear o índice de soma de para (já que são índices de soma, podemos usar qualquer letra):
Isso mostra exatamente o que queríamos provar: que a derivada da base móvel é igual a vezes a base móvel.