Determine a matriz de rotação quando os eixos cartesianos giram de um ângulo em torno de um vetor unitário .

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício sobre matriz de rotação. O enunciado pede para determinar a matriz de rotação quando os eixos cartesianos giram de um ângulo em torno de um vetor unitário . Para isso, vamos usar a matéria de álgebra linear, especificamente sobre matrizes de rotação. Precisamos entender como construir essa matriz usando o vetor de rotação e o ângulo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz de rotação descreve como girar pontos no espaço em torno de um eixo específico. Quando temos um vetor unitário e um ângulo , podemos usar a Fórmula de Rodrigues para construir essa matriz.

Passo 3

A Fórmula de Rodrigues para a matriz de rotação é dada por:
Aqui, é a matriz identidade, é o produto externo do vetor com ele mesmo, e é a matriz de produto cruzado de .

Passo 4

Vamos detalhar cada parte da fórmula. A matriz identidade é:
O termo resulta em:
E a matriz de produto cruzado é:

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo na Fórmula de Rodrigues. Substituindo os termos, temos:

Passo 6

Multiplicando cada termo pelo seu escalar, obtemos:

Resposta

Portanto, a matriz de rotação quando os eixos cartesianos giram de um ângulo em torno do vetor unitário é:

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