Determine a matriz de rotação quando os eixos cartesianos giram de um ângulo psi em torno de um vetor unitário n.

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício sobre matriz de rotação. O enunciado pede para determinar a matriz de rotação quando os eixos cartesianos giram de um ângulo em torno de um vetor unitário . Para isso, vamos usar a matéria de álgebra linear, especificamente sobre matrizes de rotação. Precisamos entender como construir essa matriz usando o vetor de rotação e o ângulo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz de rotação descreve como girar pontos no espaço em torno de um eixo específico. Quando temos um vetor unitário e um ângulo , podemos usar a Fórmula de Rodrigues para construir essa matriz.

Passo 3

A Fórmula de Rodrigues para a matriz de rotação R = I cos psi + (1 - cos psi) n n^T + [n]times sin psi é dada por:
Aqui, é a matriz identidade, é o produto externo do vetor com ele mesmo, e é a matriz de produto cruzado de .

Passo 4

Vamos detalhar cada parte da fórmula. A matriz identidade I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 é:
n n^T = nx nx & nx ny & nx nz ny nx & ny ny & ny nz nz nx & nz ny & nz nz
O termo [n]times = 0 & -nz & ny nz & 0 & -nx -ny & nx & 0 resulta em:
E a matriz de produto cruzado é:

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo na Fórmula de Rodrigues. Substituindo os termos, temos:
R = cos psi 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 + (1 - cos psi) nx^2 & nx ny & nx nz ny nx & ny^2 & ny nz nz nx & nz ny & nz^2 + sin psi 0 & -nz & ny nz & 0 & -nx -ny & nx & 0

Passo 6

Multiplicando cada termo pelo seu escalar, obtemos:
R = cos psi + (1 - cos psi) nx^2 & (1 - cos psi) nx ny - nz sin psi & (1 - cos psi) nx nz + ny sin psi (1 - cos psi) ny nx + nz sin psi & cos psi + (1 - cos psi) ny^2 & (1 - cos psi) ny nz - nx sin psi (1 - cos psi) nz nx - ny sin psi & (1 - cos psi) nz ny + nx sin psi & cos psi + (1 - cos psi) nz^2

Resposta

Portanto, a matriz de rotação R = cos psi + (1 - cos psi) nx^2 & (1 - cos psi) nx ny - nz sin psi & (1 - cos psi) nx nz + ny sin psi (1 - cos psi) ny nx + nz sin psi & cos psi + (1 - cos psi) ny^2 & (1 - cos psi) ny nz - nx sin psi (1 - cos psi) nz nx - ny sin psi & (1 - cos psi) nz ny + nx sin psi & cos psi + (1 - cos psi) nz^2 quando os eixos cartesianos giram de um ângulo em torno do vetor unitário é:

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