Sabe-se que o elemento de área de uma superfície parametrizada por , é dado por
Se , mostre que
onde é o determinante da matriz .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície parametrizada por , onde e são as variáveis de parametrização. O exercício quer que a gente mostre que o elemento de área , que é dado pela norma do produto vetorial das derivadas parciais de em relação a e , pode ser expresso como . Aqui, é o determinante da matriz , onde são os produtos internos das derivadas parciais de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e álgebra linear, como produtos vetoriais, produtos internos e determinantes de matrizes.
Passo 2
Vamos começar lembrando que o elemento de área em uma superfície parametrizada é dado por:
Aqui, e são os vetores tangentes à superfície nas direções e , respectivamente, e o produto vetorial desses vetores nos dá um vetor cujo módulo é a área do paralelogramo formado por eles.
Passo 3
Agora, vamos considerar a matriz onde cada elemento é o produto interno das derivadas parciais de :
Para nossa superfície parametrizada por e , temos:
Essa matriz é conhecida como a matriz métrica da superfície.
Passo 4
Vamos lembrar que o módulo do produto vetorial de dois vetores e pode ser expresso em termos dos seus produtos internos:
Aplicando isso às derivadas parciais, temos:
Passo 5
Agora, observamos que o determinante da matriz é dado por:
Portanto, o módulo do produto vetorial se torna:
Passo 6
Substituindo essa expressão de volta na fórmula original do elemento de área, temos:
Isso mostra que o elemento de área pode ser expresso como , onde é o determinante da matriz .
Resposta
Assim, mostramos que , onde é o determinante da matriz .