Sabe-se que o elemento de área de uma superfície parametrizada por r= r(u1, u2), é dado por
d a=|partial rpartial u1 times partial rpartial u2| d u1 d u2
Se gi j=partial rpartial ui cdot partial rpartial uj, mostre que
d a=raizg d u1 d u2
onde g é o determinante da matriz [gi j].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície parametrizada por , onde e são as variáveis de parametrização. O exercício quer que a gente mostre que o elemento de área , que é dado pela norma do produto vetorial das derivadas parciais de em relação a e , pode ser expresso como . Aqui, é o determinante da matriz , onde são os produtos internos das derivadas parciais de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e álgebra linear, como produtos vetoriais, produtos internos e determinantes de matrizes.

Passo 2

Vamos começar lembrando que o elemento de área da = | partial rpartial u1 times partial rpartial u2 | du1 , du2 em uma superfície parametrizada é dado por:
Aqui, e são os vetores tangentes à superfície nas direções e , respectivamente, e o produto vetorial desses vetores nos dá um vetor cujo módulo é a área do paralelogramo formado por eles.

Passo 3

Agora, vamos considerar a matriz gij = partial rpartial ui cdot partial rpartial uj onde cada elemento g11 = partial rpartial u1 cdot partial rpartial u1, g12 = partial rpartial u1 cdot partial rpartial u2, g22 = partial rpartial u2 cdot partial rpartial u2 é o produto interno das derivadas parciais de :
Para nossa superfície parametrizada por e , temos:
Essa matriz é conhecida como a matriz métrica da superfície.

Passo 4

Vamos lembrar que o módulo do produto vetorial de dois vetores |a times b| = raiz|a|^2 |b|^2 - (a cdot b)^2 e | partial rpartial u1 times partial rpartial u2 | = raizg11 g22 - g12^2 pode ser expresso em termos dos seus produtos internos:
Aplicando isso às derivadas parciais, temos:

Passo 5

Agora, observamos que o determinante da matriz g = det([gij]) = g11 g22 - g12^2 é dado por:
| partial rpartial u1 times partial rpartial u2 | = raizg
Portanto, o módulo do produto vetorial se torna:

Passo 6

Substituindo essa expressão de volta na fórmula original do elemento de área, temos:
da = raizg , du1 , du2
Isso mostra que o elemento de área pode ser expresso como , onde é o determinante da matriz .

Resposta

Assim, mostramos que , onde é o determinante da matriz .

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