sendo uma base cartesiana Levógira, mostre que
ei times(ej times ek)=de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar uma identidade envolvendo produtos vetoriais em uma base cartesiana levógira. Vamos precisar entender como funcionam os produtos vetoriais e o símbolo de Kronecker ( de). Basicamente, vamos usar as propriedades dos vetores na base levógira para mostrar que a expressão dada é igual à combinação linear dos vetores da base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto vetorial duplo, ou seja, ej times ek. Em uma base cartesiana levógira, os vetores da base obedecem certas regras de orientação. O produto vetorial de dois vetores da base resulta em um terceiro vetor alinhado ou anti-alinhado com os vetores da base, dependendo da orientação.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial duplo: ej times ek. Sabemos que isso é igual ao determinante da matriz cujas colunas são os vetores da base, ou seja:
ej times ek = epsilonjkl el
Aqui, epsilonjkl é o símbolo de Levi-Civita, que vale +1 se (j, k, l) for uma permutação cíclica de (1,2,3), -1 se for uma permutação anti-cíclica, e 0 se houver repetições.

Passo 4

Agora, vamos fazer o produto vetorial com ei:
ei times (ej times ek) = ei times (epsilonjkl el) = epsilonjkl (ei times el)
Mais uma vez, usamos a propriedade distributiva do produto vetorial sobre a soma.

Passo 5

Calculando ei times el, temos:
ei times el = epsilonilm em
Substituindo de volta na expressão:
epsilonjkl epsilonilm em

Passo 6

Utilizamos a identidade dos símbolos de Levi-Civita:
epsilonjkl epsilonilm = de
Onde de é o delta de Kronecker, que é 1 se j = i e 0 caso contrário.

Passo 7

Substituindo essa identidade, temos:
(de
Mas, reorganizando os índices para combinar com a expressão original, obtemos:
de

Resposta

Portanto, mostramos que
ei times(ej times ek)=de

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