Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar uma identidade envolvendo produtos vetoriais em uma base cartesiana levógira. Vamos precisar entender como funcionam os produtos vetoriais e o símbolo de Kronecker (). Basicamente, vamos usar as propriedades dos vetores na base levógira para mostrar que a expressão dada é igual à combinação linear dos vetores da base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto vetorial duplo, ou seja, . Em uma base cartesiana levógira, os vetores da base obedecem certas regras de orientação. O produto vetorial de dois vetores da base resulta em um terceiro vetor alinhado ou anti-alinhado com os vetores da base, dependendo da orientação.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial duplo: . Sabemos que isso é igual ao determinante da matriz cujas colunas são os vetores da base, ou seja:
Aqui, é o símbolo de Levi-Civita, que vale +1 se for uma permutação cíclica de (1,2,3), -1 se for uma permutação anti-cíclica, e 0 se houver repetições.
Passo 4
Agora, vamos fazer o produto vetorial com :
Mais uma vez, usamos a propriedade distributiva do produto vetorial sobre a soma.
Passo 5
Calculando , temos:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 6
Utilizamos a identidade dos símbolos de Levi-Civita:
Onde é o delta de Kronecker, que é 1 se e 0 caso contrário.
Passo 7
Substituindo essa identidade, temos:
Mas, reorganizando os índices para combinar com a expressão original, obtemos: