sendo uma base cartesiana Levógira, mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar uma identidade envolvendo produtos vetoriais em uma base cartesiana levógira. Vamos precisar entender como funcionam os produtos vetoriais e o símbolo de Kronecker ( ). Basicamente, vamos usar as propriedades dos vetores na base levógira para mostrar que a expressão dada é igual à combinação linear dos vetores da base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto vetorial duplo, ou seja, . Em uma base cartesiana levógira, os vetores da base obedecem certas regras de orientação. O produto vetorial de dois vetores da base resulta em um terceiro vetor alinhado ou anti-alinhado com os vetores da base, dependendo da orientação.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial duplo: . Sabemos que isso é igual ao determinante da matriz cujas colunas são os vetores da base, ou seja:
Aqui, é o símbolo de Levi-Civita, que vale +1 se for uma permutação cíclica de (1,2,3), -1 se for uma permutação anti-cíclica, e 0 se houver repetições.

Passo 4

Agora, vamos fazer o produto vetorial com :
Mais uma vez, usamos a propriedade distributiva do produto vetorial sobre a soma.

Passo 5

Calculando , temos:
Substituindo de volta na expressão:

Passo 6

Utilizamos a identidade dos símbolos de Levi-Civita:
Onde é o delta de Kronecker, que é 1 se e 0 caso contrário.

Passo 7

Substituindo essa identidade, temos:
Mas, reorganizando os índices para combinar com a expressão original, obtemos:

Resposta

Portanto, mostramos que

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Sabe-se que o elemento de área de uma superfície parametrizada por , é dado por
Se , mostre que
onde é o determinante da matriz .
Seja uma matriz e 𝟙, onde é um parâmetro escalar, é um polinômio invariante do terceiro grau sob rotações. Determine os invariantes e . Na equação acima, 𝟙𝕝 é o tensor identidade: 𝟙.
Considere uma base cartesiana tal que
onde é a base cartesiana fixa.
Mostre que
Determine a matriz de rotação quando os eixos cartesianos giram de um ângulo em torno de um vetor unitário .