Considere que no eixo x, há 3 cargas positivas, de valores respectivamente Q1=8 times 10^-9 C ; Q2=6 times 10^-9 C e Q3=14 times 10^-9 C. Em que posição entre Q1 e Q3 devemos colocar a carga Q2 de modo que a força total sobre ela seja nula? Considere que a distância entre Q1 e Q3 é de 60 cm ?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e identificar o conteúdo necessário para resolvê-lo. Temos três cargas positivas posicionadas ao longo do eixo :
A distância entre e é de 60 cm. Queremos descobrir em que posição entre e devemos colocar a carga para que a força total sobre ela seja nula.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que nos ajuda a calcular a força entre duas cargas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o sistema de coordenadas. Suponha que está na posição e está na posição . Vamos chamar a posição onde colocaremos de , que está entre 0 e 60 cm.

Passo 3

A força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
F = ke |Q1 Q2|r^2
onde:
  • é a força entre as cargas,
  • é a constante eletrostática ( ),
  • e são as cargas,
  • é a distância entre elas.

Passo 4

Queremos que a força total sobre seja nula. Isso significa que a força exercida por em deve ser igual em módulo, mas oposta em direção, à força exercida por em .
Vamos chamar de a força entre e , e de a força entre e .

Passo 5

Aplicando a Lei de Coulomb para ambas as forças:
F12 = ke Q1 Q2x^2
F32 = ke Q3 Q2(60 - x)^2
Como as forças devem se cancelar:
F12 = F32

Passo 6

Igualando as duas expressões:
ke Q1 Q2x^2 = ke Q3 Q2(60 - x)^2
Podemos simplificar Q1x^2 = Q3(60 - x)^2 e dos dois lados:

Passo 7

Substituindo os valores das cargas:
8 times 10^-9x^2 = 14 times 10^-9(60 - x)^2
Os 8x^2 = 14(60 - x)^2 também se cancelam:

Passo 8

Vamos resolver essa equação para encontrar 8(60 - x)^2 = 14x^2 . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 9

Expandidos os termos:
8(3600 - 120x + x^2) = 14x^2
Distribuindo o 8:
28800 - 960x + 8x^2 = 14x^2

Passo 10

Rearranjando a equação para formar uma equação quadrática:
28800 - 960x + 8x^2 - 14x^2 = 0
Simplificando:
28800 - 960x - 6x^2 = 0
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
6x^2 + 960x - 28800 = 0

Passo 11

Dividindo toda a equação por 6 para simplificar:
x^2 + 160x - 4800 = 0

Passo 12

Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
onde , e .

Passo 13

Calculando o discriminante:
De
raizDe

Passo 14

Substituindo na fórmula de Bhaskara:
x = -160 pm 211.762
Obtemos duas soluções:
x1 = -160 + 211.762 approx 25.88 , cm
x2 = -160 - 211.762 approx -185.88 , cm

Passo 15

Como estamos procurando uma posição entre e (entre 0 e 60 cm), descartamos a solução negativa.

Resposta

A carga deve ser colocada a aproximadamente 25,9 cm de para que a força total sobre ela seja nula.

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