(5,0) O espectro rotacional do ácido iodídrico (HF) consiste de um conjunto de linhas separadas por 41,912 cm^-1 (2B, onde B é a constante rotacional).
(3,0 extra) Estime o nível rotacional com maior população na temperatura de 500 K .
Dados: me=9,109 times 10^-31 kg e=1,602 times 10^-19 C h=6,626 times 10^-34 kg cdot m^2 cdot s^-1
c=2,998 times 10^8 m cdot s^-1 varepsilon0=8,854 times 10^-12 C^2 N^-1 m^-2 1 N=1 Kg cdot m cdot s^-2
kB=1,381 times 10^-23 m^2 Kg cdot s^-2 K^-1 1 uma=1,6605 times 10^-27 kg
ninj=e^[-Ej-EikB^* T] distribuição de Bolztmann
T=hbar^22 m d^2 Psi(x)d x^2 operador de Energia Cinética
B N F H
Massa atômica (uma) 10,0129 14,0031 18,0009 1,0078

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para estimarmos qual nível rotacional do ácido iodídrico (HF) tem a maior população a uma temperatura de 500 K. Vamos usar conceitos de espectro rotacional e distribuição de Boltzmann para chegar na resposta. Precisamos entender como os níveis de energia rotacional são distribuídos em diferentes temperaturas e usar as fórmulas fornecidas para calcular isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a constante rotacional $ B $. O enunciado nos diz que as linhas do espectro rotacional estão separadas por $ 41,912 , cm^{-1} $, que corresponde a $ 2B $. Assim, podemos calcular $ B $ dividindo esse valor por 2:
B

Passo 3

Agora, precisamos converter a constante rotacional $ B $ de $ cm^{-1} $ para joules (J) para facilitar os cálculos térmicos. A energia associada a $ B $ é dada por:
B
Onde:
  • $ h $ é a constante de Planck ($ 6,626 \times 10^{-34} , J \cdot s $)
  • $ c $ é a velocidade da luz ($ 2,998 \times 10^{8} , m/s $)
  • $ B $ é a constante rotacional em $ cm^{-1} $
Primeiro, convertemos $ B $ para $ m^{-1} $:
cm^-1
Agora, calculamos $ E_B $:
B

Passo 4

Para encontrar o nível rotacional $ J $ com maior população a 500 K, usamos a distribuição de Boltzmann. A energia do nível rotacional $ J $ é dada por:
J
Queremos que a energia desse nível seja aproximadamente igual à energia térmica $ k_B T $:
J
Onde:
  • $ k_B $ é a constante de Boltzmann ($ 1,381 \times 10^{-23} , J/K $)
  • $ T $ é a temperatura ($ 500 , K $)
Substituindo os valores:
EJ = B cdot J(J + 1)
Isso nos dá a equação quadrática:
kB T

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática para $ J $:
J
Considerando apenas a solução positiva:
J = -1 pm raiz1 + 4 times 0,016582 = -1 pm raiz1,06632 approx -1 pm 1,03282
Como $ J $ deve ser um número inteiro, o nível rotacional mais populoso é $ J = 0 $.

Resposta

O nível rotacional com maior população a 500 K é $ J = 0 $.

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