Um elétron está preso em um poço unidimensional infinitamente profundo com largura de 0,251 nm. Inicialmente, o elétron ocupa o estado . (a) Suponha que o elétron salte para o estado fundamental com a emissão de um fóton. Qual é a energia do fóton? (b) Encontre as energias de outros fótons que podem ser emitidos se o elétron seguir outros caminhos entre o estado e o estado fundamental.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! A gente tem um elétron preso num “poço” quântico unidimensional que é bem estreito, com largura de 0,251 nm. Inicialmente, esse elétron está no estado de energia . A pergunta quer saber duas coisas:
(a) Se o elétron der um salto direto para o estado fundamental (), qual é a energia do fóton que ele vai emitir?
(b) Quais são as energias dos outros fótons que podem ser emitidos se o elétron der passos diferentes para chegar do estado ao ?
Para resolver isso, vamos precisar entender as energias dos estados quânticos nesse poço de potencial e como calcular a diferença de energia entre os estados para encontrar a energia dos fótons emitidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia dos estados quânticos em um poço unidimensional infinito. A fórmula é:
Aqui:
é a energia do estado .
é o número quântico principal (1, 2, 3,…).
é a constante de Planck reduzida ().
é a massa do elétron ( kg).
é a largura do poço ( nm = m).
Passo 3
Vamos calcular a energia dos estados e usando a fórmula acima.
Primeiro, vamos calcular a energia de :
E a energia de :
Passo 4
A energia total dos estados será proporcional ao quadrado do número quântico, então:
Agora, para encontrar a energia do fóton emitido na transição de para , a gente precisa calcular a diferença de energia entre esses estados:
Passo 5
Vamos agora calcular o valor numérico de . Primeiro, precisamos dos valores das constantes:
J·s
kg
m
Substituindo na fórmula de :
Vamos calcular isso passo a passo:
J²·s²
kg = kg
m²
Agora, substituindo:
Passo 6
Agora que temos , podemos calcular :
Para deixar isso mais amigável, podemos converter para elétron-volts (eV), sabendo que J:
Passo 7
Então, a energia do fóton emitido na transição direta de para é aproximadamente 89,3 eV.
Para a parte (b), vamos pensar nas outras transições possíveis que o elétron pode fazer indo de para . Ele pode dar salto direto ou passar por estados intermediários, como ou .
As possíveis sequências de transições são:
para
para e depois para
para e depois para
para , depois para e para
Vamos calcular as energias dos fótons para cada uma dessas transições.
Passo 8
Primeiro, calculamos e usando a relação :
Agora, vamos calcular a energia dos fótons para cada transição intermediária:
Transição para :
Transição para :
Transição para :
Transição para :
Transição para para para :
Já calculamos as energias das transições individuais:
eV
eV
Passo 9
Resumindo as possíveis energias dos fótons emitidos nas diferentes transições:
Direto de para : 89,3 eV
Passando por :
para : 35,4 eV
para : 47,6 eV
Passando por :
para : 71,5 eV
para : 17,8 eV
Passando por e :
para : 35,4 eV
para : (não calculado, mas podemos calcular se precisar)
para : 17,8 eV
Resposta
(a) A energia do fóton emitido na transição direta do estado para o estado fundamental é aproximadamente 89,3 eV.
(b) As energias dos outros fótons que podem ser emitidos, considerando diferentes caminhos de transição entre e , são:
35,4 eV (transição de para )
47,6 eV (transição de para )
71,5 eV (transição de para )
17,8 eV (transição de para )
Essas são as possíveis energias dos fótons emitidos nas diferentes rotas que o elétron pode seguir para ir de até .