Um elétron está preso em um poço unidimensional infinitamente profundo com largura de 0,251 nm. Inicialmente, o elétron ocupa o estado n=4. (a) Suponha que o elétron salte para o estado fundamental com a emissão de um fóton. Qual é a energia do fóton? (b) Encontre as energias de outros fótons que podem ser emitidos se o elétron seguir outros caminhos entre o estado n=4 e o estado fundamental.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! A gente tem um elétron preso num “poço” quântico unidimensional que é bem estreito, com largura de 0,251 nm. Inicialmente, esse elétron está no estado de energia . A pergunta quer saber duas coisas:
(a) Se o elétron der um salto direto para o estado fundamental ( ), qual é a energia do fóton que ele vai emitir?
(b) Quais são as energias dos outros fótons que podem ser emitidos se o elétron der passos diferentes para chegar do estado ao ?
Para resolver isso, vamos precisar entender as energias dos estados quânticos nesse poço de potencial e como calcular a diferença de energia entre os estados para encontrar a energia dos fótons emitidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia dos estados quânticos em um poço unidimensional infinito. A fórmula é:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2
Aqui:
  • é a energia do estado .
  • é o número quântico principal (1, 2, 3,…).
  • é a constante de Planck reduzida ( ).
  • é a massa do elétron ( kg).
  • é a largura do poço ( nm = m).

Passo 3

Vamos calcular a energia dos estados E1 = 1^2 pi^2 hbar^22 m L^2 e E4 = 4^2 pi^2 hbar^22 m L^2 = 16 times E1 usando a fórmula acima.
Primeiro, vamos calcular a energia de :
E a energia de :

Passo 4

A energia total dos estados será proporcional ao quadrado do número quântico, então:
E4 = 16 E1
Agora, para encontrar a energia do fóton emitido na transição de De para , a gente precisa calcular a diferença de energia entre esses estados:

Passo 5

Vamos agora calcular o valor numérico de E1 = pi^2 (1,0545718 times 10^-34)^22 times 9,109 times 10^-31 times (0,251 times 10^-9)^2 . Primeiro, precisamos dos valores das constantes:
  • E1 = 9,8696 times 1,112 times 10^-681,8218 times 10^-30 times 6,3001 times 10^-20 = 1,096 times 10^-671,148 times 10^-49 approx 9,53 times 10^-19 J J·s
  • kg
  • m
Substituindo na fórmula de :
Vamos calcular isso passo a passo:
  1. J²·s²
  2. kg = kg
Agora, substituindo:

Passo 6

Agora que temos De, podemos calcular De:
Para deixar isso mais amigável, podemos converter para elétron-volts (eV), sabendo que J:

Passo 7

Então, a energia do fóton emitido na transição direta de para é aproximadamente 89,3 eV.
Para a parte (b), vamos pensar nas outras transições possíveis que o elétron pode fazer indo de para . Ele pode dar salto direto ou passar por estados intermediários, como ou .
As possíveis sequências de transições são:
  1. para
  2. para e depois para
  3. para e depois para
  4. para , depois para e para
Vamos calcular as energias dos fótons para cada uma dessas transições.

Passo 8

Primeiro, calculamos E2 = 4 E1 approx 4 times 9,53 times 10^-19 J = 3,81 times 10^-18 J approx 23,8 eV e E3 = 9 E1 approx 9 times 9,53 times 10^-19 J = 8,58 times 10^-18 J approx 53,6 eV usando a relação De:
De
De
Agora, vamos calcular a energia dos fótons para cada transição intermediária:
  1. Transição De para :
  2. Transição para :
  3. Transição para :
  4. Transição para :
  5. Transição para para para :
    Já calculamos as energias das transições individuais:
    • eV
    • eV

Passo 9

Resumindo as possíveis energias dos fótons emitidos nas diferentes transições:
  1. Direto de para : 89,3 eV
  2. Passando por :
    • para : 35,4 eV
    • para : 47,6 eV
  3. Passando por :
    • para : 71,5 eV
    • para : 17,8 eV
  4. Passando por e :
    • para : 35,4 eV
    • para : (não calculado, mas podemos calcular se precisar)
    • para : 17,8 eV

Resposta

(a) A energia do fóton emitido na transição direta do estado para o estado fundamental é aproximadamente 89,3 eV.
(b) As energias dos outros fótons que podem ser emitidos, considerando diferentes caminhos de transição entre e , são:
  • 35,4 eV (transição de para )
  • 47,6 eV (transição de para )
  • 71,5 eV (transição de para )
  • 17,8 eV (transição de para )
Essas são as possíveis energias dos fótons emitidos nas diferentes rotas que o elétron pode seguir para ir de até .

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