Um elétron está preso em um poço unidimensional infinitamente profundo com largura de 0,251 nm. Inicialmente, o elétron ocupa o estado
. (a) Suponha que o elétron salte para o estado fundamental com a emissão de um fóton. Qual é a energia do fóton? (b) Encontre as energias de outros fótons que podem ser emitidos se o elétron seguir outros caminhos entre o estado
e o estado fundamental.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! A gente tem um elétron preso num “poço” quântico unidimensional que é bem estreito, com largura de 0,251 nm. Inicialmente, esse elétron está no estado de energia
. A pergunta quer saber duas coisas:
(a) Se o elétron der um salto direto para o estado fundamental (
), qual é a energia do fóton que ele vai emitir?
(b) Quais são as energias dos outros fótons que podem ser emitidos se o elétron der passos diferentes para chegar do estado
ao
?
Para resolver isso, vamos precisar entender as energias dos estados quânticos nesse poço de potencial e como calcular a diferença de energia entre os estados para encontrar a energia dos fótons emitidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia dos estados quânticos em um poço unidimensional infinito. A fórmula é:
Aqui:
-
é a energia do estado . -
é o número quântico principal (1, 2, 3,…). -
é a constante de Planck reduzida ( ). -
é a massa do elétron ( kg). -
é a largura do poço ( nm = m).
Passo 3
Vamos calcular a energia dos estados
e
usando a fórmula acima.
Primeiro, vamos calcular a energia de
:
E a energia de
:
Passo 4
A energia total dos estados será proporcional ao quadrado do número quântico, então:
Agora, para encontrar a energia do fóton emitido na transição de
para
, a gente precisa calcular a diferença de energia entre esses estados:
Passo 5
Vamos agora calcular o valor numérico de
. Primeiro, precisamos dos valores das constantes:
-
J·s -
kg -
m
Substituindo na fórmula de
:
Vamos calcular isso passo a passo:
-
-
J²·s² -
kg = kg -
m²
Agora, substituindo:
Passo 6
Agora que temos
, podemos calcular
:
Para deixar isso mais amigável, podemos converter para elétron-volts (eV), sabendo que
J:
Passo 7
Então, a energia do fóton emitido na transição direta de
para
é aproximadamente 89,3 eV.
Para a parte (b), vamos pensar nas outras transições possíveis que o elétron pode fazer indo de
para
. Ele pode dar salto direto ou passar por estados intermediários, como
ou
.
As possíveis sequências de transições são:
-
para -
para e depois para -
para e depois para -
para , depois para e para
Vamos calcular as energias dos fótons para cada uma dessas transições.
Passo 8
Primeiro, calculamos
e
usando a relação
:
Agora, vamos calcular a energia dos fótons para cada transição intermediária:
-
Transição
para : -
Transição
para : -
Transição
para : -
Transição
para : -
Transição
para para para : Já calculamos as energias das transições individuais:-
eV -
eV
-
Passo 9
Resumindo as possíveis energias dos fótons emitidos nas diferentes transições:
- Direto de
para : 89,3 eV - Passando por
: -
para : 35,4 eV -
para : 47,6 eV
-
- Passando por
: -
para : 71,5 eV -
para : 17,8 eV
-
- Passando por
e : -
para : 35,4 eV -
para : (não calculado, mas podemos calcular se precisar) -
para : 17,8 eV
-
Resposta
(a) A energia do fóton emitido na transição direta do estado
para o estado fundamental
é aproximadamente 89,3 eV.
(b) As energias dos outros fótons que podem ser emitidos, considerando diferentes caminhos de transição entre
e
, são:
- 35,4 eV (transição de
para ) - 47,6 eV (transição de
para ) - 71,5 eV (transição de
para ) - 17,8 eV (transição de
para )
Essas são as possíveis energias dos fótons emitidos nas diferentes rotas que o elétron pode seguir para ir de
até
.