Considere a elipse de equação dada por 9 x^2+4 y^2-36 x+24 y+36=0. Encontre o centro, os vértices e os focos desta elipse e faça um esboço do seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma elipse definida pela equação . Nosso objetivo é encontrar o centro, os vértices e os focos dessa elipse, além de desenhar um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e reescrever a equação da elipse na forma padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação colocando os termos de 9x^2 - 36x + 4y^2 + 24y = -36 e juntos:

Passo 3

Agora, vamos completar os quadrados para os termos de 9x^2 - 36x = 9(x^2 - 4x) e x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2. Para isso, precisamos fatorar os coeficientes quadráticos:
Para 9(x^2 - 4x) = 9[(x - 2)^2 - 4] = 9(x - 2)^2 - 36:
4y^2 + 24y = 4(y^2 + 6y)
Completa o quadrado dentro do parênteses:
y^2 + 6y + 9 = (y + 3)^2
Então:
4(y^2 + 6y) = 4[(y + 3)^2 - 9] = 4(y + 3)^2 - 36
Para :
Completa o quadrado dentro do parênteses:
Então:

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
9(x - 2)^2 - 36 + 4(y + 3)^2 - 36 = -36
Simplificando:
9(x - 2)^2 + 4(y + 3)^2 - 72 = -36
9(x - 2)^2 + 4(y + 3)^2 = 36

Passo 5

Agora, vamos dividir todos os termos por 36 para deixar a equação na forma padrão da elipse:
9(x - 2)^236 + 4(y + 3)^236 = 1
(x - 2)^24 + (y + 3)^29 = 1

Passo 6

A forma padrão da equação da elipse é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação:
  • Centro
  • então
  • então
Como , a elipse tem seu eixo maior no eixo .

Passo 7

Vértices:
São os pontos mais afastados do centro ao longo do eixo maior.
  • Vertices no eixo (h, k pm b) = (2, -3 pm 3):
(2, 0)
Então:
(2, -6) e

Passo 8

Focos:
Para encontrar os focos, usamos a fórmula c = raiz9 - 4 = raiz5:
(h, k pm c) = (2, -3 pm raiz5)
Os focos estão ao longo do eixo maior (eixo (2, -3 + raiz5)):
(2, -3 - raiz5)
Então:
e

Resposta

  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e
O esboço do gráfico seria uma elipse centrada em , com o eixo maior vertical, passando pelos vértices e , e os focos localizados ligeiramente dentro do eixo maior nas posições mencionadas.

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m)[rrrr2 & -4 & 0 & 0 1 & 2 & 12 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & -1 & -4 & -5]
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