Considere a elipse de equação dada por . Encontre o centro, os vértices e os focos desta elipse e faça um esboço do seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma elipse definida pela equação . Nosso objetivo é encontrar o centro, os vértices e os focos dessa elipse, além de desenhar um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e reescrever a equação da elipse na forma padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação colocando os termos de e juntos:
Passo 3
Agora, vamos completar os quadrados para os termos de e . Para isso, precisamos fatorar os coeficientes quadráticos:
Para :
Completa o quadrado dentro do parênteses:
Então:
Para :
Completa o quadrado dentro do parênteses:
Então:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos dividir todos os termos por 36 para deixar a equação na forma padrão da elipse:
Passo 6
A forma padrão da equação da elipse é:
Comparando com a nossa equação:
Centro
então
então
Como , a elipse tem seu eixo maior no eixo .
Passo 7
Vértices:
São os pontos mais afastados do centro ao longo do eixo maior.
Vertices no eixo :
Então:
e
Passo 8
Focos:
Para encontrar os focos, usamos a fórmula :
Os focos estão ao longo do eixo maior (eixo ):
Então:
e
Resposta
Centro:
Vértices: e
Focos: e
O esboço do gráfico seria uma elipse centrada em , com o eixo maior vertical, passando pelos vértices e , e os focos localizados ligeiramente dentro do eixo maior nas posições mencionadas.