Uma reta passa pelos pontos e e uma reta está contida no plano , é perpendicular a e passa pela origem. Calcule a distância entre e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas no espaço: , que passa pelos pontos e , e , que está no plano , é perpendicular a e passa pela origem. Nosso objetivo é calcular a distância entre essas duas retas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores, equações de retas e cálculo de distância entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta . O vetor diretor é basicamente a direção da reta, e podemos achar ele subtraindo as coordenadas dos pontos que a reta passa. Então, seja :
Então, o vetor diretor de é .
Passo 3
Agora, vamos pensar na reta . Ela está contida no plano , então a coordenada dela é sempre zero. Além disso, ela passa pela origem . Vamos chamar o vetor diretor de de , já que está no plano .
Passo 4
Sabemos que é perpendicular a . Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Então, temos:
Simplificando:
Então, o vetor diretor de pode ser escrito como .
Passo 5
Para encontrarmos a distância entre as duas retas, vamos usar a fórmula da distância entre duas retas no espaço que não são paralelas. A fórmula é:
Onde é o vetor que liga um ponto de a um ponto de , e representa o produto vetorial.
Passo 6
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . Sabemos que e :
Vamos escolher um ponto na reta AB cdot (d1 times d2) = (4) cdot (2a) + (-4) cdot (-2a) + (-2) cdot (8a) = 8a + 8a - 16a = 0 . Como ela passa pela origem, podemos usar o ponto . O vetor já foi calculado como . Agora, vamos calcular o produto escalar :
Isso nos mostra que as retas são perpendiculares, o que confirma nossa condição inicial.
Passo 9
Para calcular a distância, precisamos considerar que o resultado do produto escalar foi zero, o que indica que as retas se cruzam ou são paralelas. Porém, como sabemos que D = |AB cdot (d1 times d2)||d1 times d2| está no plano e não, elas não se cruzam. Portanto, retornamos à fórmula original para a distância:
Como o numerador é zero, a distância é zero, mas isso invariavelmente está relacionado à escolha dos vetores. Vamos reconsiderar um método alternativo para calcular a distância.
Passo 10
Vamos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma linha. Vamos considerar o ponto D = |AB times AP||AB| na reta AP = (0 - (-3), 0 - 4, 0 - 4) = (3, -4, -4) e calcular a distância desse ponto à reta . A fórmula é:
Onde é o vetor que vai de ao ponto (origem). Então:
Passo 11
Calculamos o produto vetorial AB times AP = i & j & k 4 & -4 & -2 3 & -4 & -4 = i( (-4)(-4) - (-2)(-4) ) - j(4 cdot (-4) - (-2) cdot 3) + k(4 cdot (-4) - (-4) cdot 3) :