Uma reta r1 passa pelos pontos A=(-3,4,4) e B=(1,0,2) e uma reta r2 está contida no plano x y, é perpendicular a r1 e passa pela origem. Calcule a distância entre r1 e r2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas no espaço: , que passa pelos pontos e , e , que está no plano , é perpendicular a e passa pela origem. Nosso objetivo é calcular a distância entre essas duas retas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores, equações de retas e cálculo de distância entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta AB = (1 - (-3), 0 - 4, 2 - 4) = (4, -4, -2) . O vetor diretor é basicamente a direção da reta, e podemos achar ele subtraindo as coordenadas dos pontos que a reta passa. Então, seja :
Então, o vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, vamos pensar na reta . Ela está contida no plano , então a coordenada dela é sempre zero. Além disso, ela passa pela origem . Vamos chamar o vetor diretor de de , já que está no plano .

Passo 4

Sabemos que d1 cdot d2 = 0 Rightarrow 4a - 4b + 0 = 0 Rightarrow 4a - 4b = 0 é perpendicular a a = b . Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Então, temos:
Simplificando:
Então, o vetor diretor de pode ser escrito como .

Passo 5

Para encontrarmos a distância entre as duas retas, vamos usar a fórmula da distância entre duas retas no espaço que não são paralelas. A fórmula é:
D = |AB cdot (d1 times d2)||d1 times d2|
Onde é o vetor que liga um ponto de a um ponto de , e representa o produto vetorial.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial d1 times d2 = i & j & k 4 & -4 & -2 a & a & 0 = i( (-4)(0) - (-2)(a) ) - j(4 cdot 0 - (-2)(a)) + k(4 cdot a - (-4)(a)) . Sabemos que = i(0 + 2a) - j(0 + 2a) + k(4a + 4a) = (2a, -2a, 8a) e :

Passo 7

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
|d1 times d2| = raiz(2a)^2 + (-2a)^2 + (8a)^2 = raiz4a^2 + 4a^2 + 64a^2 = raiz72a^2 = a raiz72 = 6a raiz2

Passo 8

Vamos escolher um ponto na reta AB cdot (d1 times d2) = (4) cdot (2a) + (-4) cdot (-2a) + (-2) cdot (8a) = 8a + 8a - 16a = 0 . Como ela passa pela origem, podemos usar o ponto . O vetor já foi calculado como . Agora, vamos calcular o produto escalar :
Isso nos mostra que as retas são perpendiculares, o que confirma nossa condição inicial.

Passo 9

Para calcular a distância, precisamos considerar que o resultado do produto escalar foi zero, o que indica que as retas se cruzam ou são paralelas. Porém, como sabemos que D = |AB cdot (d1 times d2)||d1 times d2| está no plano e não, elas não se cruzam. Portanto, retornamos à fórmula original para a distância:
Como o numerador é zero, a distância é zero, mas isso invariavelmente está relacionado à escolha dos vetores. Vamos reconsiderar um método alternativo para calcular a distância.

Passo 10

Vamos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma linha. Vamos considerar o ponto D = |AB times AP||AB| na reta AP = (0 - (-3), 0 - 4, 0 - 4) = (3, -4, -4) e calcular a distância desse ponto à reta . A fórmula é:
Onde é o vetor que vai de ao ponto (origem). Então:

Passo 11

Calculamos o produto vetorial AB times AP = i & j & k 4 & -4 & -2 3 & -4 & -4 = i( (-4)(-4) - (-2)(-4) ) - j(4 cdot (-4) - (-2) cdot 3) + k(4 cdot (-4) - (-4) cdot 3) :
= i(16 - 8) - j(-16 - (-6)) + k(-16 - (-12)) = (8, -10, -4)

Passo 12

Agora, o módulo desse vetor:
|AB times AP| = raiz8^2 + (-10)^2 + (-4)^2 = raiz64 + 100 + 16 = raiz180 = 6raiz5
E o módulo de |AB| = raiz4^2 + (-4)^2 + (-2)^2 = raiz16 + 16 + 4 = raiz36 = 6 :

Passo 13

Finalmente, a distância entre o ponto e a reta é:
D = 6raiz56 = raiz5

Resposta

A distância entre as retas e é unidades.

Exercícios relacionados

Determine quais dos seguintes conjuntos são subsespaços de R^3 :
Conjunto de todos os vetores da forma (a, b, 0 )
Encontre a inversa se existir.
[lll1 & 2 & 0 2 & 1 & 2 0 & 2 & 1]
Uma reta r1 passa pelos pontos A=(-3,4,4) e B=(1,0,2) e uma reta r2 está contida no plano x y, é perpendicular a r1 e passa pela origem. Determine as equações paramétricas e as equações reduzidas de r1 e r2.
Considere a elipse de equação dada por 9 x^2+4 y^2-36 x+24 y+36=0. Encontre o centro, os vértices e os focos desta elipse e faça um esboço do seu gráfico.