Encontre a inversa se existir.
m)[rrrr2 & -4 & 0 & 0 1 & 2 & 12 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & -1 & -4 & -5]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a inversa de uma matriz, se ela existir. Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com matrizes quadradas. Para encontrar a inversa, vamos precisar usar operações elementares de linha e transformar a matriz original na matriz identidade. Se conseguirmos fazer isso, a matriz inversa estará formada pelas operações que aplicamos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz original. Ela é uma matriz 4x4:
A = 2 & -4 & 0 & 0 1 & 2 & 12 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & -1 & -4 & -5
Para encontrar a inversa, vamos montar uma matriz aumentada que combina a matriz original [A | I] = [cccc|cccc 2 & -4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 12 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & -4 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 ] com a matriz identidade 4x4:

Passo 3

O objetivo é transformar a parte da esquerda dessa matriz aumentada na matriz identidade usando operações de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar múltiplos de uma linha a outra). À medida que fazemos isso, as mesmas operações serão aplicadas à parte da direita, que acabará se tornando a inversa R1 = R12 Rightarrow [cccc|cccc 1 & -2 & 0 & 0 & 0.5 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 12 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & -4 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 ] .
Vamos começar pela primeira coluna. Queremos que o elemento seja 1. Para isso, vamos dividir a primeira linha por 2:

Passo 4

Agora, queremos que os outros elementos da primeira coluna sejam zero. Para isso, vamos subtrair a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - R1 Rightarrow [cccc|cccc 1 & -2 & 0 & 0 & 0.5 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & 12 & 0 & -0.5 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & -4 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Seguimos para a segunda coluna. Queremos que o elemento R2 = R24 Rightarrow [cccc|cccc 1 & -2 & 0 & 0 & 0.5 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 3 & 0 & -0.125 & 0.25 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & -4 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 ] seja 1. Dividimos a segunda linha por 4:

Passo 6

Agora, vamos eliminar os outros elementos na segunda coluna. Primeiro, adicionamos 2 vezes a segunda linha à primeira linha:
R1 = R1 + 2 times R2 Rightarrow [cccc|cccc 1 & 0 & 6 & 0 & 0.25 & 0.5 & 0 & 0 0 & 1 & 3 & 0 & -0.125 & 0.25 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & -4 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
Em seguida, adicionamos a segunda linha à quarta linha:
R4 = R4 + R2 Rightarrow [cccc|cccc 1 & 0 & 6 & 0 & 0.25 & 0.5 & 0 & 0 0 & 1 & 3 & 0 & -0.125 & 0.25 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & -5 & -0.125 & 0.25 & 0 & 1 ]

Passo 7

Agora, vamos para a terceira coluna. Queremos que R3 = R32 Rightarrow [cccc|cccc 1 & 0 & 6 & 0 & 0.25 & 0.5 & 0 & 0 0 & 1 & 3 & 0 & -0.125 & 0.25 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0.5 & 0 0 & 0 & -1 & -5 & -0.125 & 0.25 & 0 & 1 ] seja 1, então dividimos a terceira linha por 2:

Passo 8

Eliminamos os outros elementos na terceira coluna. Subtraímos 6 vezes a terceira linha da primeira linha:
R1 = R1 - 6 times R3 Rightarrow [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 0.25 & 0.5 & -3 & 0 0 & 1 & 3 & 0 & -0.125 & 0.25 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0.5 & 0 0 & 0 & -1 & -5 & -0.125 & 0.25 & 0 & 1 ]
Adicionamos a terceira linha à quarta linha:
R4 = R4 + R3 Rightarrow [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 0.25 & 0.5 & -3 & 0 0 & 1 & 3 & 0 & -0.125 & 0.25 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0.5 & 0 0 & 0 & 0 & -5 & -0.125 & 0.25 & 0.5 & 1 ]

Passo 9

Finalmente, vamos para a quarta coluna. Queremos que R4 = R4-5 Rightarrow [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 0.25 & 0.5 & -3 & 0 0 & 1 & 3 & 0 & -0.125 & 0.25 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0.5 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0.025 & -0.05 & -0.1 & -0.2 ] seja 1, então dividimos a quarta linha por -5:
A^-1 = 0.25 & 0.5 & -3 & 0 -0.125 & 0.25 & 0 & 0 0 & 0 & 0.5 & 0 0.025 & -0.05 & -0.1 & -0.2
Como já temos 1 na diagonal principal e zeros abaixo e acima, a parte da esquerda agora é a matriz identidade. Portanto, a parte da direita é a inversa :

Resposta

A matriz inversa de A^-1 = 0.25 & 0.5 & -3 & 0 -0.125 & 0.25 & 0 & 0 0 & 0 & 0.5 & 0 0.025 & -0.05 & -0.1 & -0.2 é:

Exercícios relacionados