Dados e :
b) Sijs un ter airo votor do . Chmais as condicós sobre para que syjs wan
base de ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional, e . Queremos encontrar um terceiro vetor, , tal que o conjunto forme uma base de . Para isso, precisamos lembrar que uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. Vamos precisar usar conceitos de independência linear e determinante para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre independência linear. Três vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois. Isso garante que eles “não se sobreponham” no espaço e, portanto, podem gerar todo o juntos.
Passo 3
Para verificar se os vetores são linearmente independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Passo 4
Vamos montar a matriz com , e :
Aqui, V3 = (a, b, c) é o vetor que queremos determinar.
Passo 5
Agora, calculamos o determinante de A. O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = 1(-1 cdot c - 4 cdot b) - 3(1 cdot c - 1 cdot b) + a(1 cdot 4 - (-1) cdot 1)