Dados V1=(1,1,1) e V2=(3,-1,4) :
b) Sijs V3 un ter airo votor do R^3. Chmais as condicós sobre V3 para que V1, V2, V3 syjs wan
base de R^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional, V1 = (1,1,1) e V2 = (3,-1,4). Queremos encontrar um terceiro vetor, V3, tal que o conjunto V1, V2, V3 forme uma base de R^3. Para isso, precisamos lembrar que uma base de R^3 é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. Vamos precisar usar conceitos de independência linear e determinante para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre independência linear. Três vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois. Isso garante que eles “não se sobreponham” no espaço e, portanto, podem gerar todo o R^3 juntos.

Passo 3

Para verificar se os vetores V1, V2, V3 são linearmente independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.

Passo 4

Vamos montar a matriz A com V1, V2 e V3:
A = 1 & 3 & a 1 & -1 & b 1 & 4 & c
Aqui, V3 = (a, b, c) é o vetor que queremos determinar.

Passo 5

Agora, calculamos o determinante de A. O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = 1(-1 cdot c - 4 cdot b) - 3(1 cdot c - 1 cdot b) + a(1 cdot 4 - (-1) cdot 1)
Simplificando:
det(A) = 1(-c - 4b) - 3(c - b) + a(4 + 1) = -c - 4b - 3c + 3b + 5a
det(A) = -4c - b + 5a

Passo 6

Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero:
-4c - b + 5a neq 0
Isso nos dá a condição que V3 = (a, b, c) deve satisfazer para que V1, V2, V3 seja uma base de R^3.

Resposta

Portanto, o vetor V3 = (a, b, c) deve satisfazer a seguinte condição:
5a - b - 4c neq 0
Isso garante que o conjunto V1, V2, V3 seja uma base de R^3.

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