Uma reta passa pelos pontos e e uma reta está contida no plano , é perpendicular a e passa pela origem. Determine as equações paramétricas e as equações reduzidas de e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas aqui: a reta que passa pelos pontos e , e a reta que está no plano , é perpendicular a e passa pela origem. Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas e reduzidas de ambas as retas. Para isso, vamos usar vetores, equações de retas no espaço e propriedades de perpendicularidade entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta . O vetor diretor é simplesmente a diferença entre os pontos e :
Esse vetor nos dirá a direção em que a reta está apontando.
Passo 3
Agora, com o ponto e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta :
Aqui, é o parâmetro que percorre a reta.
Passo 4
Para as equações reduzidas da reta t = x + 34 = 4 - y4 = 4 - z2 , vamos resolver cada equação paramétrica para x + 34 = y - 4-4 = z - 4-2 :
Podemos simplificar isso para:
Essas são as equações reduzidas da reta .
Passo 5
Agora, vamos encontrar a reta . Sabemos que está no plano , o que significa que sua coordenada é sempre zero. Então, qualquer ponto em tem a forma .
Passo 6
Como passa pela origem, o ponto inicial é . Precisamos encontrar o vetor diretor de que seja perpendicular a .
Passo 7
A condição de perpendicularidade entre os vetores d1 cdot d2 = 0 e 4a - 4b + (-2)(0) = 0 Rightarrow 4a - 4b = 0 Rightarrow a = b é que o produto escalar entre eles seja zero:
Seja , já que está no plano . Então:
Podemos escolher , então . Assim, .
Passo 8
Com o ponto de origem e o vetor diretor x = 0 + t y = 0 + t z = 0 , escrevemos as equações paramétricas da reta x = t, y = t, z = 0 :
Ou simplificando:
Passo 9
Para as equações reduzidas da reta x1 = y1, z = 0 , como x = y, z = 0 , as equações são:
Ou simplesmente:
Resposta
As equações paramétricas e reduzidas das retas são: