Uma reta r1 passa pelos pontos A=(-3,4,4) e B=(1,0,2) e uma reta r2 está contida no plano x y, é perpendicular a r1 e passa pela origem. Determine as equações paramétricas e as equações reduzidas de r1 e r2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas aqui: a reta que passa pelos pontos e , e a reta que está no plano , é perpendicular a e passa pela origem. Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas e reduzidas de ambas as retas. Para isso, vamos usar vetores, equações de retas no espaço e propriedades de perpendicularidade entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta d1 = B - A = (1 - (-3), 0 - 4, 2 - 4) = (4, -4, -2) . O vetor diretor é simplesmente a diferença entre os pontos e :
Esse vetor nos dirá a direção em que a reta está apontando.

Passo 3

Agora, com o ponto x = -3 + 4t y = 4 - 4t z = 4 - 2t e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta :
Aqui, é o parâmetro que percorre a reta.

Passo 4

Para as equações reduzidas da reta t = x + 34 = 4 - y4 = 4 - z2 , vamos resolver cada equação paramétrica para x + 34 = y - 4-4 = z - 4-2 :
Podemos simplificar isso para:
Essas são as equações reduzidas da reta .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a reta . Sabemos que está no plano , o que significa que sua coordenada é sempre zero. Então, qualquer ponto em tem a forma .

Passo 6

Como passa pela origem, o ponto inicial é . Precisamos encontrar o vetor diretor de que seja perpendicular a .

Passo 7

A condição de perpendicularidade entre os vetores d1 cdot d2 = 0 e 4a - 4b + (-2)(0) = 0 Rightarrow 4a - 4b = 0 Rightarrow a = b é que o produto escalar entre eles seja zero:
Seja , já que está no plano . Então:
Podemos escolher , então . Assim, .

Passo 8

Com o ponto de origem e o vetor diretor x = 0 + t y = 0 + t z = 0 , escrevemos as equações paramétricas da reta x = t, y = t, z = 0 :
Ou simplificando:

Passo 9

Para as equações reduzidas da reta x1 = y1, z = 0 , como x = y, z = 0 , as equações são:
Ou simplesmente:

Resposta

As equações paramétricas e reduzidas das retas são:
Para x = -3 + 4t y = 4 - 4t z = 4 - 2t :
x + 34 = y - 4-4 = z - 4-2
x = t y = t z = 0
Para x = y, z = 0 :

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Encontre a inversa se existir.
m)[rrrr2 & -4 & 0 & 0 1 & 2 & 12 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & -1 & -4 & -5]