Em que direção a derivada direcional de no ponto ( 1,1 ) é zero?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pergunta em que direção a derivada direcional da função no ponto (1,1) é zero. Vamos usar conceitos de derivadas direcionais e gradiente para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função em uma direção específica. Matematicamente, é calculada usando o gradiente da função e o vetor que representa a direção.

Passo 3

O gradiente de , denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Para encontrar , precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

No ponto (1,1), vamos substituir e nas derivadas parciais:

Passo 7

Então, o gradiente no ponto (1,1) é:
Isso significa que a direção de maior aumento da função nesse ponto é na direção do vetor .

Passo 8

A derivada direcional será zero quando o vetor direção for perpendicular ao gradiente. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.

Passo 9

Vamos representar a direção como um vetor unitário . A condição para a derivada direcional ser zero é:
Ou seja:

Passo 10

Isso significa que qualquer direção onde as componentes e sejam iguais fará a derivada direcional ser zero. Em termos de ângulo, essas direções correspondem a linhas que passam pelo ponto (1,1) com inclinação 1, ou seja, a 45 graus.

Resposta

A derivada direcional de no ponto (1,1) é zero em todas as direções onde , ou seja, nas direções com ângulo de 45 graus.

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Considere o elipsoide .
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