Em que direção a derivada direcional de no ponto ( 1,1 ) é zero?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pergunta em que direção a derivada direcional da função no ponto (1,1) é zero. Vamos usar conceitos de derivadas direcionais e gradiente para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função em uma direção específica. Matematicamente, é calculada usando o gradiente da função e o vetor que representa a direção.
Passo 3
O gradiente de , denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Para encontrar , precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Passo 5
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Passo 6
No ponto (1,1), vamos substituir e nas derivadas parciais:
Passo 7
Então, o gradiente no ponto (1,1) é:
Isso significa que a direção de maior aumento da função nesse ponto é na direção do vetor .
Passo 8
A derivada direcional será zero quando o vetor direção for perpendicular ao gradiente. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.
Passo 9
Vamos representar a direção como um vetor unitário . A condição para a derivada direcional ser zero é:
Ou seja:
Passo 10
Isso significa que qualquer direção onde as componentes e sejam iguais fará a derivada direcional ser zero. Em termos de ângulo, essas direções correspondem a linhas que passam pelo ponto (1,1) com inclinação 1, ou seja, a 45 graus.
Resposta
A derivada direcional de no ponto (1,1) é zero em todas as direções onde , ou seja, nas direções com ângulo de 45 graus.