Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo: dada por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . O que precisamos fazer é encontrar o núcleo (ou “nulidade”) e a imagem dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente a ideia de resolver sistemas lineares e entender como as matrizes representam transformações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores que são enviados para o vetor zero pela transformação, ou seja:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de y + 2z = 0 Rightarrow y = -2z , x + 2(-2z) - z = 0 Rightarrow x - 4z - z = 0 Rightarrow x = 5z e x + 3(-2z) + z = 0 Rightarrow x - 6z + z = 0 Rightarrow x = 5z que satisfazem todas as equações. Começando pela segunda equação:
Agora, substituímos na primeira e terceira equações:
Primeira equação:
Terceira equação:
Ambas as equações confirmam que .
Passo 4
Agora, sabemos que (x, y, z) = (5z, -2z, z) = z cdot (5, -2, 1) e Núc<=o(T) = span, (5, -2, 1) , . Então, podemos expressar o núcleo em termos de :
Isso significa que o núcleo de é gerado pelo vetor , ou seja:
ú
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem de A = 1 & 2 & -1 0 & 1 & 2 1 & 3 & 1 . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Para isso, podemos representar por uma matriz e encontrar o espaço gerado pelas colunas dessa matriz.
A matriz de é:
Passo 6
Para encontrar a imagem, vamos determinar o espaço coluna de 1 & 2 & -1 0 & 1 & 2 0 & 1 & 2 . Isso pode ser feito reduzindo a matriz a uma forma mais simples e identificando as colunas que são pivôs.
Vamos fazer a redução por escalonamento:
Mantemos a primeira linha como está.
Subtraímos a primeira linha da terceira para eliminar o 1 & 2 & -1 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 na terceira equação:
Agora, subtraímos a segunda linha da terceira para eliminar o :
Passo 7
Após a redução, vemos que as duas primeiras colunas têm pivôs, o que significa que a imagem de Ima>=m(T) = span, 1 0 1, 2 1 3 , é gerada pelas duas primeiras colunas da matriz original:
Isso define um subespaço de com dimensão 2.
Resposta
O núcleo de Núc<=o(T) = span, (5, -2, 1) , é o conjunto de todos os vetores da forma Ima>=m(T) = span, 1 0 1, 2 1 3 , , ou seja:
ú
E a imagem de é o subespaço de gerado pelos vetores e :