Esboce as seguintes superfícies
x^29+y^24+z^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a superfície definida pela equação x^29+y^24+z^2=1. Isso envolve geometria analítica, especificamente o estudo de superfícies tridimensionais como os elipsoides. Para resolver, vamos precisar entender o que cada termo da equação representa e como isso nos ajuda a desenhar a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da equação. A equação x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1 representa um elipsoide centrado na origem (0,0,0). No nosso caso, temos:
  • a^2 = 9 então a = 3
  • b^2 = 4 então b = 2
  • c^2 = 1 então c = 1
Isso nos diz que o elipsoide tem semi-eixos de comprimento 3, 2 e 1 nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Vamos agora esboçar o gráfico:
  1. Desenhe os eixos coordenados: Trace os eixos x, y e z perpendicularmente entre si.
  2. Marque os semi-eixos:
    • Ao longo do eixo x, marque pontos a 3 unidades de distância da origem em ambas as direções.
    • No eixo y, marque pontos a 2 unidades da origem.
    • No eixo z, marque pontos a 1 unidade da origem.
  3. Desenhe a superfície: Conecte esses pontos de forma suave, formando uma espécie de “bola” alongada. O elipsoide será mais largo no eixo x, mais estreito no y e ainda mais estreito no z.

Passo 4

Lembre-se que um elipsoide é uma superfície tridimensional onde cada ponto satisfaz a equação dada. Ao esboçar, é importante representar a profundidade e a largura diferentes de cada eixo para mostrar as variações nos comprimentos dos semi-eixos.

Resposta

O esboço da superfície x^29+y^24+z^2=1 é um elipsoide centrado na origem, com semi-eixos de comprimento 3, 2 e 1 nas direções x, y e z, respectivamente. No desenho, o elipsoide será mais alongado no eixo x, mais estreito no y e ainda mais estreito no z, formando uma “bola” assimétrica conforme as medidas dos semi-eixos.

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