Esboce as seguintes superfícies
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a superfície definida pela equação
. Isso envolve geometria analítica, especificamente o estudo de superfícies tridimensionais como os elipsoides. Para resolver, vamos precisar entender o que cada termo da equação representa e como isso nos ajuda a desenhar a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da equação. A equação
representa um elipsoide centrado na origem (0,0,0). No nosso caso, temos:
-
então -
então -
então
Isso nos diz que o elipsoide tem semi-eixos de comprimento 3, 2 e 1 nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Vamos agora esboçar o gráfico:
- Desenhe os eixos coordenados: Trace os eixos x, y e z perpendicularmente entre si.
- Marque os semi-eixos:
- Ao longo do eixo x, marque pontos a 3 unidades de distância da origem em ambas as direções.
- No eixo y, marque pontos a 2 unidades da origem.
- No eixo z, marque pontos a 1 unidade da origem.
- Desenhe a superfície: Conecte esses pontos de forma suave, formando uma espécie de “bola” alongada. O elipsoide será mais largo no eixo x, mais estreito no y e ainda mais estreito no z.
Passo 4
Lembre-se que um elipsoide é uma superfície tridimensional onde cada ponto satisfaz a equação dada. Ao esboçar, é importante representar a profundidade e a largura diferentes de cada eixo para mostrar as variações nos comprimentos dos semi-eixos.
Resposta
O esboço da superfície
é um elipsoide centrado na origem, com semi-eixos de comprimento 3, 2 e 1 nas direções x, y e z, respectivamente. No desenho, o elipsoide será mais alongado no eixo x, mais estreito no y e ainda mais estreito no z, formando uma “bola” assimétrica conforme as medidas dos semi-eixos.