Suponha que
seja diferenciável no ponto
com
,
e
. Uma equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
é
, e:
,
,
sāo equaçōes paramétricas da reta normal ao gráfico de
no ponto
.
sāo equaçōes paramétricas da reta normal ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função
que é diferenciável no ponto
com
. Também sabemos as derivadas parciais nesse ponto:
e
. Precisamos encontrar:
- A equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto . - As equações paramétricas da reta normal a esse gráfico no mesmo ponto.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre planos tangentes e normais a superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o plano tangente. Quando temos uma função
diferenciável em um ponto, o plano tangente naquele ponto é a melhor aproximação linear da função perto desse ponto. A fórmula geral do plano tangente em
é:
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, onde
,
,
,
e
, substituímos na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa equação para deixá-la mais clara:
Então, a equação do plano tangente é
.
Passo 5
Agora, vamos para a reta normal ao gráfico de
no ponto
. A reta normal é perpendicular ao plano tangente nesse ponto. Para encontrá-la, usamos o vetor gradiente
no ponto, que é
.
No nosso caso, o vetor gradiente é
.
Passo 6
As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
Onde
é um ponto na reta e
é o vetor diretor da reta. Aqui,
é o parâmetro.
Passo 7
Usando o ponto
e o vetor diretor
, substituímos na fórmula:
Resposta
A equação do plano tangente é:
E as equações paramétricas da reta normal são: