Suponha que f(x, y) seja diferenciável no ponto 3,1 com f(3,1)=4, f_x(3,1) = 2 e f_y(3,1)=-3. Uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 3,1,4 é \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 , e:
x = \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 , y = \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 , z = \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1
sāo equaçōes paramétricas da reta normal ao gráfico de f no ponto 3,1,4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função que é diferenciável no ponto com . Também sabemos as derivadas parciais nesse ponto: e . Precisamos encontrar:
  1. A equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .
  2. As equações paramétricas da reta normal a esse gráfico no mesmo ponto.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre planos tangentes e normais a superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o plano tangente. Quando temos uma função diferenciável em um ponto, o plano tangente naquele ponto é a melhor aproximação linear da função perto desse ponto. A fórmula geral do plano tangente em é:

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, onde , , , e , substituímos na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação para deixá-la mais clara:
Então, a equação do plano tangente é .

Passo 5

Agora, vamos para a reta normal ao gráfico de no ponto . A reta normal é perpendicular ao plano tangente nesse ponto. Para encontrá-la, usamos o vetor gradiente no ponto, que é .
No nosso caso, o vetor gradiente é .

Passo 6

As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
Onde é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta. Aqui, é o parâmetro.

Passo 7

Usando o ponto e o vetor diretor , substituímos na fórmula:

Resposta

A equação do plano tangente é:
E as equações paramétricas da reta normal são:

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