Considere o elipsoide .
a) Encontre uma equação do plano tangente ao elipsoide no ponto ;
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer aqui: temos um elipsoide definido pela equação . Queremos encontrar a equação do plano tangente a esse elipsoide no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais para determinar a inclinação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, é importante verificar se o ponto está realmente na superfície do elipsoide. Substituindo os valores na equação:
Como , o ponto pertence ao elipsoide.
Passo 3
Para encontrar a equação do plano tangente, precisamos determinar as derivadas parciais da função que define o elipsoide. Vamos reescrever a equação do elipsoide na forma .
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de em relação a cada variável:
Passo 5
Avalie as derivadas parciais no ponto :
Passo 6
A equação do plano tangente em um ponto é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 7
Expandindo a equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Resposta
A equação do plano tangente ao elipsoide no ponto é: