Considere o elipsoide x^2 + y^2 + 4 z^2 = 12.
a) Encontre uma equação do plano tangente ao elipsoide no ponto (2, 2, 1);

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer aqui: temos um elipsoide definido pela equação . Queremos encontrar a equação do plano tangente a esse elipsoide no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais para determinar a inclinação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, é importante verificar se o ponto está realmente na superfície do elipsoide. Substituindo os valores na equação:
Como , o ponto pertence ao elipsoide.

Passo 3

Para encontrar a equação do plano tangente, precisamos determinar as derivadas parciais da função que define o elipsoide. Vamos reescrever a equação do elipsoide na forma .

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de em relação a cada variável:

Passo 5

Avalie as derivadas parciais no ponto :

Passo 6

A equação do plano tangente em um ponto é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 7

Expandindo a equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:

Resposta

A equação do plano tangente ao elipsoide no ponto é:

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