Verifique se a função
satisfaz a equação de Laplace
-dimensional
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a função
satisfaz a equação de Laplace
em
dimensões. Para isso, vamos precisar entender o que é a equação de Laplace e como aplicá-la a essa função específica. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Laplace. Em termos simples, a equação de Laplace em
dimensões é dada por:
Ela diz que a soma das segundas derivadas parciais de
em relação a cada coordenada espacial é igual a zero.
Passo 3
Nossa função
depende das coordenadas
apenas através da distância
ao ponto de origem, onde:
Então, podemos reescrever
como:
Isso simplifica nossos cálculos, pois agora
é uma função radial.
Passo 4
Agora, precisamos calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a cada coordenada
. Mas, como
depende apenas de
, podemos usar uma fórmula geral para a Laplaciana de uma função radial em
dimensões:
Onde
é a primeira derivada de
em relação a
, e
é a segunda derivada.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas necessárias. A primeira derivada de
em relação a
é:
A segunda derivada é:
Passo 6
Substituindo
e
na expressão da Laplaciana:
Passo 7
Para que
satisfaça a equação de Laplace
, precisamos que:
Isso só é possível se o numerador for zero:
Resposta
A função
satisfaz a equação de Laplace
somente quando
.