Verifique se a função u(x1, x2, ldots, xn)=1(x1^2+x2^2+ldots+xn^2)^1 / 2 satisfaz a equação de Laplace n-dimensional nabla^2 u=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a função satisfaz a equação de Laplace em dimensões. Para isso, vamos precisar entender o que é a equação de Laplace e como aplicá-la a essa função específica. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Laplace. Em termos simples, a equação de Laplace em nabla^2 u = partial^2 upartial x1^2 + partial^2 upartial x2^2 + ldots + partial^2 upartial xn^2 = 0 dimensões é dada por:
Ela diz que a soma das segundas derivadas parciais de em relação a cada coordenada espacial é igual a zero.

Passo 3

Nossa função r = raizx1^2 + x2^2 + ldots + xn^2 depende das coordenadas u(r) = 1r apenas através da distância ao ponto de origem, onde:
Então, podemos reescrever como:
Isso simplifica nossos cálculos, pois agora é uma função radial.

Passo 4

Agora, precisamos calcular as segundas derivadas parciais de nabla^2 u = u''(r) + n - 1r u'(r) em relação a cada coordenada . Mas, como depende apenas de , podemos usar uma fórmula geral para a Laplaciana de uma função radial em dimensões:
Onde é a primeira derivada de em relação a , e é a segunda derivada.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas necessárias. A primeira derivada de u'(r) = ddr ( 1r ) = -1r^2 em relação a u''(r) = ddr ( -1r^2 ) = 2r^3 é:
A segunda derivada é:

Passo 6

Substituindo nabla^2 u = 2r^3 + n - 1r ( -1r^2 ) = 2r^3 - n - 1r^3 = 2 - (n - 1)r^3 = 3 - nr^3 e na expressão da Laplaciana:

Passo 7

Para que 3 - nr^3 = 0 satisfaça a equação de Laplace 3 - n = 0 implies n = 3 , precisamos que:
Isso só é possível se o numerador for zero:

Resposta

A função satisfaz a equação de Laplace somente quando .

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