Seja f: R^3 R e considere em R^3 as coordenadas esféricas dadas por
x=r cos theta sen varphi, y=r sen theta sen varphi e z=r cos varphi
Calcule partial f / partial r, partial f / partial theta e partial f / partial varphi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e as coordenadas estão dadas em coordenadas esféricas. Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de em relação a , e . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas cartesianas x = r cos theta sin varphi, y = r sin theta sin varphi, z = r cos varphi estão relacionadas com as esféricas :
Essas relações nos permitem expressar em termos de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de partial fpartial u = partial fpartial x partial xpartial u + partial fpartial y partial ypartial u + partial fpartial z partial zpartial u em relação a cada uma das coordenadas esféricas. A regra da cadeia para múltiplas variáveis nos diz que:
onde pode ser ou .

Passo 4

Vamos calcular partial fpartial r = partial fpartial x partial xpartial r + partial fpartial y partial ypartial r + partial fpartial z partial zpartial r :
partial xpartial r = cos theta sin varphi, partial ypartial r = sin theta sin varphi, partial zpartial r = cos varphi
Calculando as derivadas parciais das coordenadas:
partial fpartial r = cos theta sin varphi cdot partial fpartial x + sin theta sin varphi cdot partial fpartial y + cos varphi cdot partial fpartial z
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular partial fpartial theta = partial fpartial x partial xpartial theta + partial fpartial y partial ypartial theta + partial fpartial z partial zpartial theta :
partial xpartial theta = -r sin theta sin varphi, partial ypartial theta = r cos theta sin varphi, partial zpartial theta = 0
Calculando as derivadas parciais das coordenadas:
partial fpartial theta = -r sin theta sin varphi cdot partial fpartial x + r cos theta sin varphi cdot partial fpartial y
Então:

Passo 6

Por fim, vamos calcular partial fpartial varphi = partial fpartial x partial xpartial varphi + partial fpartial y partial ypartial varphi + partial fpartial z partial zpartial varphi :
partial xpartial varphi = r cos theta cos varphi, partial ypartial varphi = r sin theta cos varphi, partial zpartial varphi = -r sin varphi
Calculando as derivadas parciais das coordenadas:
partial fpartial varphi = r cos theta cos varphi cdot partial fpartial x + r sin theta cos varphi cdot partial fpartial y - r sin varphi cdot partial fpartial z
Então:

Resposta

As derivadas parciais de partial fpartial r = cos theta sin varphi cdot partial fpartial x + sin theta sin varphi cdot partial fpartial y + cos varphi cdot partial fpartial z em coordenadas esféricas são:
partial fpartial theta = -r sin theta sin varphi cdot partial fpartial x + r cos theta sin varphi cdot partial fpartial y
partial fpartial varphi = r cos theta cos varphi cdot partial fpartial x + r sin theta cos varphi cdot partial fpartial y - r sin varphi cdot partial fpartial z

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