Seja
e considere em
as coordenadas esféricas dadas por
Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e as coordenadas estão dadas em coordenadas esféricas. Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas cartesianas
estão relacionadas com as esféricas
:
Essas relações nos permitem expressar
em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de
em relação a cada uma das coordenadas esféricas. A regra da cadeia para múltiplas variáveis nos diz que:
onde
pode ser
ou
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Calculando as derivadas parciais das coordenadas:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Calculando as derivadas parciais das coordenadas:
Então:
Passo 6
Por fim, vamos calcular
:
Calculando as derivadas parciais das coordenadas:
Então:
Resposta
As derivadas parciais de
em coordenadas esféricas são: