Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
62.
em torno do eixo
62.
Passo 1
Vamos entender o problema. Precisamos encontrar o volume gerado ao girar a região delimitada pelas curvas
,
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica eficiente para calcular volumes de rotação quando o eixo de rotação é vertical ou horizontal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região que vamos girar. As funções
e
se cruzam quando
. Resolvendo essa equação:
Então, a região está limitada entre
e
.
Passo 3
O método das cascas cilíndricas utiliza a seguinte fórmula para calcular o volume:
Aqui,
,
,
e
.
Passo 4
Substituindo as funções e os limites na fórmula do volume:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Usaremos a técnica de integração por partes, onde:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1.
Para
:
Para
:
Passo 7
Substituindo os resultados das integrais na fórmula do volume:
Resposta
O volume gerado é
.