Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
62. y = e^x, y = e^(-x), x = 1 em torno do eixo y

Passo 1

Vamos entender o problema. Precisamos encontrar o volume gerado ao girar a região delimitada pelas curvas , e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica eficiente para calcular volumes de rotação quando o eixo de rotação é vertical ou horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região que vamos girar. As funções e se cruzam quando . Resolvendo essa equação:
Então, a região está limitada entre e .

Passo 3

O método das cascas cilíndricas utiliza a seguinte fórmula para calcular o volume:
Aqui, , , e .

Passo 4

Substituindo as funções e os limites na fórmula do volume:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Usaremos a técnica de integração por partes, onde:
Para :
Para :

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1.
Para :
Para :

Passo 7

Substituindo os resultados das integrais na fórmula do volume:

Resposta

O volume gerado é .

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