Considere o elipsoide .
Determine uma equação para cada plano tangente ao elipsoide e paralelo ao plano .

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elipsoide dado pela equação e precisamos encontrar as equações dos planos tangentes a esse elipsoide que sejam paralelos ao plano . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies e condições de paralelismo entre planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é da forma . Dois planos são paralelos se eles têm os mesmos coeficientes e , ou seja, suas normais são iguais ou proporcionais. No nosso caso, o plano tem os coeficientes , e .

Passo 3

Como os planos tangentes que precisamos encontrar devem ser paralelos ao plano , eles terão a mesma direção normal. Portanto, os coeficientes e dos planos tangentes serão iguais a 1. A equação geral dos planos tangentes será então , onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 4

Para encontrar , vamos usar a condição de que o plano é tangente ao elipsoide. Isso significa que o sistema formado pela equação do elipsoide e pela equação do plano deve ter exatamente uma solução, ou seja, o plano toca o elipsoide em apenas um ponto.
Substituindo da equação do plano na equação do elipsoide, teremos:
No entanto, como o coeficiente de no plano é 0, na verdade, o plano é paralelo ao eixo . Portanto, a condição de tangência implica que o plano intersecta o elipsoide em um único ponto, onde a distância entre o centro do elipsoide e o plano é igual ao raio mínimo da elipsoide na direção perpendicular ao plano.

Passo 5

Para calcular a distância entre o centro do elipsoide e o plano , usamos a fórmula da distância de um ponto ao plano :
O centro do elipsoide é , então substituindo na fórmula:

Passo 6

O raio mínimo do elipsoide na direção perpendicular ao plano pode ser encontrado a partir da equação do elipsoide. Sabemos que, para um elipsoide da forma , o raio na direção normal ao plano é dado por:
No nosso elipsoide, temos , , e (pois implica ).
Substituindo , , e :

Passo 7

Para que o plano seja tangente ao elipsoide, a distância entre o centro e o plano deve ser igual ao raio :
Multiplicando ambos os lados por :
Portanto, ou .

Resposta

As equações dos planos tangentes ao elipsoide e paralelos ao plano são:
e

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