Considere o elipsoide
.
Determine uma equação para cada plano tangente ao elipsoide e paralelo ao plano
.
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elipsoide dado pela equação
e precisamos encontrar as equações dos planos tangentes a esse elipsoide que sejam paralelos ao plano
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies e condições de paralelismo entre planos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é da forma
. Dois planos são paralelos se eles têm os mesmos coeficientes
e
, ou seja, suas normais são iguais ou proporcionais. No nosso caso, o plano
tem os coeficientes
,
e
.
Passo 3
Como os planos tangentes que precisamos encontrar devem ser paralelos ao plano
, eles terão a mesma direção normal. Portanto, os coeficientes
e
dos planos tangentes serão iguais a 1. A equação geral dos planos tangentes será então
, onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 4
Para encontrar
, vamos usar a condição de que o plano é tangente ao elipsoide. Isso significa que o sistema formado pela equação do elipsoide e pela equação do plano deve ter exatamente uma solução, ou seja, o plano toca o elipsoide em apenas um ponto.
Substituindo
da equação do plano na equação do elipsoide, teremos:
No entanto, como o coeficiente de
no plano é 0, na verdade, o plano é paralelo ao eixo
. Portanto, a condição de tangência implica que o plano intersecta o elipsoide em um único ponto, onde a distância entre o centro do elipsoide e o plano é igual ao raio mínimo da elipsoide na direção perpendicular ao plano.
Passo 5
Para calcular a distância
entre o centro do elipsoide e o plano
, usamos a fórmula da distância de um ponto
ao plano
:
O centro do elipsoide é
, então substituindo na fórmula:
Passo 6
O raio mínimo do elipsoide na direção perpendicular ao plano
pode ser encontrado a partir da equação do elipsoide. Sabemos que, para um elipsoide da forma
, o raio na direção normal ao plano
é dado por:
No nosso elipsoide, temos
,
, e
(pois
implica
).
Substituindo
,
, e
:
Passo 7
Para que o plano seja tangente ao elipsoide, a distância
entre o centro e o plano deve ser igual ao raio
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Portanto,
ou
.
Resposta
As equações dos planos tangentes ao elipsoide
e paralelos ao plano
são:
e
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