Determine a equação da reta tangente à elipse x^2/16 + y^2/9 = 1, que é paralela à reta x + y = 0.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente à elipse x^2/16 + y^2/9 = 1, que seja paralela à reta . Para isso, vamos precisar entender como encontrar retas tangentes a elipses e utilizar o conceito de paralelismo entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta é paralela a outra se elas tiverem o mesmo coeficiente angular. A reta dada é , que podemos escrever na forma . Aqui, o coeficiente angular é -1. Então, estamos procurando uma reta tangente à elipse com inclinação -1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação geral da reta tangente à elipse x^2/16 + y^2/9 = 1. A forma padrão da equação da reta tangente a uma elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 com coeficiente angular m é:
No nosso caso, , e .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula da reta tangente:
Calculando dentro da raiz:
Então, a equação da reta tangente fica:

Passo 5

Portanto, temos duas possíveis retas tangentes paralelas à reta :

Resposta

As equações das retas tangentes são e .

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