Considere as energias potenciais abaixo e determine para cada uma delas a expressão para a força oriunda da mesma.
U(x)=a x^4-b x^2 (chapeu mexicano).
As constantes C, k, a e b são números positivos. Esboce o gráfico da energia potencial no domínio 0 no item a) e no domínio -infty no item b).

Passo 1

Beleza, vamos começar dando uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O enunciado nos apresenta uma energia potencial na forma , conhecida como “chapéu mexicano”. Nosso objetivo é:
  1. Determinar a expressão para a força que vem dessa energia potencial.
  2. Esboçar o gráfico da energia potencial em dois domínios diferentes:
    • a)
    • b)
Para resolver isso, vamos precisar saber como relacionar energia potencial e força, além de entender como essa função se comporta graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre energia potencial F(x) = -dUdx e força . Na física, a força é relacionada à energia potencial pela derivada negativa dessa energia em relação à posição:
Isso significa que para encontrar a força, basta derivar a função da energia potencial em relação a e então multiplicar por -1.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da energia potencial dUdx = ddx (a x^4 - b x^2) = 4a x^3 - 2b x em relação a F(x) = -dUdx = - (4a x^3 - 2b x) = -4a x^3 + 2b x :
Agora, aplicando a relação entre força e energia potencial:
Então, a expressão para a força é .

Passo 4

Agora vamos para o esboço do gráfico da energia potencial U(0) = a cdot 0^4 - b cdot 0^2 = 0 .
a) No domínio :
Vamos analisar como essa função se comporta quando varia de 0 até o infinito positivo.
  1. Quando :
    Então, o ponto (0,0) está no gráfico.
  2. Conforme aumenta, o termo cresce mais rapidamente que . Isso faz com que aumente para o infinito positivo.
  3. Entre e valores maiores, a função inicialmente diminui devido ao termo negativo , atingindo um mínimo antes de começar a aumentar novamente.
b) No domínio :
Agora, considerando valores negativos de , a função permanece a mesma porque os termos com exponents pares tornam uma função par (simétrica em relação ao eixo y).
  1. Quando é negativo, e são positivos, então ainda aumenta para o infinito positivo em ambas as direções (positiva e negativa).
  2. O comportamento geral será semelhante ao caso anterior, com a função atingindo mínimos em pontos simétricos em relação à origem.

Resposta

A expressão para a força oriunda da energia potencial F(x) = -4a x^3 + 2b x é:

Exercícios relacionados