Considere as energias potenciais abaixo e determine para cada uma delas a expressão para a força oriunda da mesma.
(chapeu mexicano).
As constantes
e
são números positivos. Esboce o gráfico da energia potencial no domínio
no item a) e no domínio
no item b).
As constantes
Passo 1
Beleza, vamos começar dando uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O enunciado nos apresenta uma energia potencial na forma
, conhecida como “chapéu mexicano”. Nosso objetivo é:
- Determinar a expressão para a força que vem dessa energia potencial.
- Esboçar o gráfico da energia potencial em dois domínios diferentes:
- a)
- b)
- a)
Para resolver isso, vamos precisar saber como relacionar energia potencial e força, além de entender como essa função se comporta graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre energia potencial
e força
. Na física, a força é relacionada à energia potencial pela derivada negativa dessa energia em relação à posição:
Isso significa que para encontrar a força, basta derivar a função da energia potencial em relação a
e então multiplicar por -1.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da energia potencial
em relação a
:
Agora, aplicando a relação entre força e energia potencial:
Então, a expressão para a força é
.
Passo 4
Agora vamos para o esboço do gráfico da energia potencial
.
a) No domínio
:
Vamos analisar como essa função se comporta quando
varia de 0 até o infinito positivo.
-
Quando
: Então, o ponto (0,0) está no gráfico. -
Conforme
aumenta, o termo cresce mais rapidamente que . Isso faz com que aumente para o infinito positivo. -
Entre
e valores maiores, a função inicialmente diminui devido ao termo negativo , atingindo um mínimo antes de começar a aumentar novamente.
b) No domínio
:
Agora, considerando valores negativos de
, a função
permanece a mesma porque os termos com exponents pares tornam
uma função par (simétrica em relação ao eixo y).
-
Quando
é negativo, e são positivos, então ainda aumenta para o infinito positivo em ambas as direções (positiva e negativa). -
O comportamento geral será semelhante ao caso anterior, com a função atingindo mínimos em pontos simétricos em relação à origem.
Resposta
A expressão para a força oriunda da energia potencial
é: